水下机器人基于sigmoid函数的软变结构控制

刘云龙， 高存臣， 任启峰， 郭真真

(1.中国海洋大学数学科学学院，山东青岛 266100;2.中国海洋大学信息科学与工程学院，山东青岛 266100)

0 引言

随着海洋经济的迅速发展，能够进行海洋资源开发和探测的水下机器人研究受到了国内外众多科研机构和学者的广泛关注［1-3］。具有良好动态与稳态性能的控制系统是他们进行高质量水下探测的前提。由于水下机器人系统各个自由度之间相互耦合、运动的时变性以及环境的复杂性，水下机器人系统设计需要采用调节精确度高、响应速度快的控制策略，以提高水下机器人的适应性和自主性。

变结构控制是一种先进的非线性控制策略，其非线性主要表现为控制的不连续性。滑模控制是变结构控制策略中一种简单有效的控制模式，其滑动模态对系统内部参数摄动和外部干扰具有完全鲁棒性［4］。近年来，滑模变结构控制理论在滞后系统、随机系统、广义系统、混沌系统等领域取得了很大进展。最优控制［5］、自适应控制［6］、模糊控制［7］等智能控制策略也被应用于滑模变结构控制设计。文献［8］给出了轮式移动机器人的滑模跟踪控制设计。然而，滑模控制会引起一定的系统抖振，影响系统性能。Sigmoid函数具有光滑性、严格单调性、饱和性特点。所谓饱和性是指函数值有上、下界，饱和值可为0/1，±1等［9］。文献［10］给出了基于 sigmoid函数的滑模控制，削弱了系统抖振，系统最终趋近于平衡态，但趋近过程时间较长。文献［11］融合了PID控制、模糊控制和神经网络控制等，给出了一种实用的S面控制策略，改进了水下机器人控制器的收敛速度。

软变结构控制来源于非连续的无滑模变结构控制策略，具有调节精确度高，响应速度快，几乎不产生系统抖振等优点。文献［12］给出了基于分段线性二次型最优控制的输入受限系统的软变结构控制设计。文献［13］基于饱和函数等理论讨论了线性时不变系统的软变结构控制策略。软变结构控制基于无滑模变结构控制模式产生和发展，不同于滑模变结构控制。

水下机器人系统设计需要采用能够高速调节和快速响应的控制策略，滑模变结构控制策略虽然具有上述优点，但易使系统产生抖振，影响系统的动态性能。本文重点研究控制受限情形下的水下机器人纵向自由度方向的深度控制问题。借助具有光滑性和饱和性的sigmoid函数，给出水下机器人软变结构控制策略。首先，讨论水下机器人软变结构控制的稳定性。其次，构造水下机器人软变结构控制器，给出水下机器人软变结构控制具体算法。最后，通过仿真实验分析基于sigmoid函数的水下机器人软变结构控制系统总体性能优于线性控制、饱和线性控制和基于变饱和函数的软变结构控制，具有良好的控制效果。

1 基于sigmoid函数的软变结构控制系统

为了更好地分析软变结构控制的结构特征，首先介绍具有有限k个子控制器的非连续变结构控制。

考虑n维线性时不变连续时间系统，即

式中:x(t)∈Rn为系统状态;u(t)∈R为系统控制输入;A∈Rn×n为常值矩阵;b∈Rn为常值向量，且(A，b)为可控矩阵对。

水下机器人控制输入通常是受限的，假定满足

式中，u0为正常数。

为了简化数学公式书写，在无歧义的前提下，本文以下数学公式中的时间变量t，一律省略。

引入水下机器人控制器，即

式中:F为控制器，p为选择策略参量，他由不连续函数S(x)决定，即

这种非连续变结构控制器由有限k个子控制器构成，其控制系统结构如图1所示。

图1 具有k个子控制器的变结构控制系统结构Fig．1 Block schematic of VSC withksub-controllers

具有k个子控制器的非连续变结构控制，无论是无滑模的变结构控制模式，还是滑模变结构控制模式，其主要目的都是用来高速调节趋近速度、快速缩短到达时间和削弱变结构控制系统在控制过程中时间滞后、空间滞后、未建模特性等因素引起的抖振。这类变结构控制的子控制器数目越多，系统运动轨线趋近平衡态的时间通常就越短，但过多的子控制器不符合经济利益，同时也会降低控制器的使用寿命和安全性。为了消除或削弱上述抖振问题，考虑若S(x)为连续函数，选择策略参量p可取无穷多的值，也是连续函数，一般表示为

这种具有连续选择策略参量p的变结构控制称为软变结构控制［13］，其控制系统结构如图2所示。

图2 软变结构控制系统结构Fig．2 Block schematic of SVSC

Sigmoid函数是神经网络中一类重要激活函数，具有光滑性、严格单调性、饱和性，一般表达式为

式中:参数α为增益，决定变化速率;θ为偏移量。该函数光滑，严格单调递增，变化范围为(0，1)。不失一般性，取偏移量θ=0，作简单线性变换，使其变化范围为(-1，1)，有

实际问题中，α可根据趋近速度和原点精确度适当调节，这里取α=1，有

基于sigmoid函数的软变结构控制设计类似于基于变饱和函数的软变结构控制，具有高调节精确度、快速响应的优点。变饱和函数在变量临界值外为常数，在变量临界值处不具有高阶连续导数，也就是说，变饱和函数仅具有单调性和饱和性，所设计软变结构控制系统在临界值处不具有平滑性。Sigmoid函数既具有饱和性，又具有饱和函数所不具备的严格单调性和光滑性。基于sigmoid函数设计的软变结构控制系统结构如图3所示。

图3 基于sigmoid函数的软变结构控制系统结构Fig．3 Block schematic of SVSC based on sigmoid functions

2 基于sigmoid函数的软变结构控制器设计

考虑具有控制受限(2)的线性时不变连续时间系统(1)，设计软变结构控制器，即

式中:u1为线性控制;u2为基于sigmoid函数的软变结构控制。可构造向量k1∈Rn，k2∈Rn，使得

式中，β＞0为给定参数。选择策略参量p取为如下形式，即

式中，γ＞0为给定参数，影响选择策略参量p的取值。p和u2在自变量为标量时的曲线变化如图4所示。

图4 自变量为标量时的p和u2的曲线Fig．4 The curves of p and u2when the variable is a scalar

由系统(1)和式(5)，得闭环软变结构控制系统为

此软变结构控制系统应当满足以下两个条件:

1)控制输入满足|u|≤u0;

2)在条件1)的前提下，系统平衡态具有全局渐近稳定性，考虑控制受限时，所有的系统运动轨线应出发于一个能保证系统渐近稳定的区域，即

式中:vG＞0为区域G的最大边界;R∈Rn×n为待定矩阵。

2．1 软变结构控制系统的稳定性

分析基于sigmoid函数的闭环软变结构控制系统(7)的稳定性。在控制受限(2)的前提下，系统(7)的稳定性取决于参量p和矩阵R的合理选取。

在区域G内，构造Lyapunov函数为

对V(x)取时间变量的导数为

根据Lyapunov稳定性理论，若V(x)＜0，则系统(7)是渐近稳定的。即对任意给定的正定矩阵Q(p)，对于Lyapunov方程

总存在解矩阵R。

下面分析参量p的取值范围。当系统运动轨线趋近原点时，即‖x‖→0，由洛必达法则可知，

对于参量p，此时有

2．2 软变结构控制器的参量设计

此时系统运动轨线发生在区域G的边界上，有

式中，R为对称正定矩阵。解上式得

代入式(12)，得

由于满足条件2)的软变结构控制必须在条件1)的前提下设计，将式(4)代入式(2)，得

若要使上式成立，只要满足

由式(5)和式(12)可知，

在区域G内，以Lyapunov函数(14)为最大边界，构造一个小区域H，使得其内的系统运动轨线最终趋近平衡态。为了不至于引起误解，小区域H内的系统运动轨线曲线记为，表示为

为了充分利用控制器，u1)的最大值|^u1)|对应的系统运动轨线应在稳定区域H的边界上，即

解上式得

因此，可以得到

将式(17)、式(20)代入式(16)，得

这样选择策略参量p就完全确定了。取一个满足条件的特殊形式，即

由式(6)、式(7)和式(22)可知，基于sigmoid函数的软变结构控制设计完成。

将式(22)代入式(15)得

对于水下机器人系统，在区域G内，v(x)的最大值就是vG，则式(23)可化简为

2．3 软变结构控制的算法

基于sigmoid函数的软变结构控制设计主要是构造合适的选择策略参量p，使得系统(7)渐近稳定。选择策略参量p取决于以下3个方面:1)式(6)中的γ和k2;2)式(22)中的β和k1;3)式(9)中的矩阵R。为了设计这个控制器，总共需要构造这5个参量。整个算法设计流程为:

1)利用极点配置法，选择合适的向量k1，保证矩阵A-的特征值均具有负实部，使得系统具有良好的动态品质。

2)考虑pmin=0的特殊情形，对任意给定正定矩阵Q(0)，根据 Lyapunov方程(11)，有

解出矩阵R。

3)给定 β，γ，将pmin=0 代入式(24)，得可得区域G的边界vG，使得从给定初态区域X0出发的系统运动轨线最终趋近于平衡态。如果上述情形无法满足，应重复第一步，利用极点配置法，选一个较小的控制向量k1。

4)选择合适的向量k2。考虑p=1时，对任意给定正定矩阵Q(1)，根据Lyapunov方程(11)，有

如果满足上述条件的矩阵R不存在，则对于式(24)，改变pmin的取值，重复以上步骤，直至得到所有的参量都合乎设计要求。

3 仿真实验与分析

水下机器人是一个具有六自由度运动的刚体。为了便于对水下机器人运动规律进行研究，将其运动分解为在深度控制通道、航向控制通道和横滚控制通道。文中略去相互间耦合作用，重点研究了基于sigmoid函数的软变结构控制在水下机器人深度控制通道的应用，其他两个通道可用类似的方法得到。

考虑水下机器人系统(1)，参数为

式中:x1为水下机器人垂直深度，单位为m;x2为水下机器人垂直升降速度，单位为m/s;x3为水下机器人垂直升降加速度，单位为m/s2。控制输入u满足

初态向量要求在区域X0={1，x2，x3}内，其中各分量满足|x1|≤10 m，|x2|≤0.05 m/s，|x3|≤0.005 m/s2。

文献［15］给出了水下机器人垂直深度的线性控制和饱和线性控制器设计，文献［13］给出了水下机器人垂直深度基于变饱和函数的软变结构控制器设计。下面设计基于sigmoid函数的水下机器人软变结构控制器。

1)选取合适的特征值 λ1=-0.003 7，λ2，3=-0.002 5±j0.005，由极点配置法可得向量k1=[1.12×10-74.84×10-58.61×10-3]，使得系统具有良好的动态性能。

2)由式(25)得，矩阵

3)给定 β=0.3，γ=2，将pmin=0代入式(24)，得到区域G的边界vG，满足X0⊂G，使得从X0出发的系统运动轨线最终趋近平衡态。

4)由式(26)得，向量 k2=［4.46×10-71.45×10-41.50 ×10-2］。

仿真实验完成了水下机器人初始位置静止在水面，以方向向下，大小为4×10-3m/s2的初始加速度潜水深度控制研究。图5为采用4种控制方法的水下机器人垂直深度x1的仿真对比结果，图6为采用4种控制方法的控制输入u的仿真对比结果。

图5 水下机器人垂直深度曲线对比Fig．5 Comparison of the vertical depth curves for AUV

图6 水下机器人控制输入曲线对比Fig．6 Comparison of the control input curves for AUV

图5和图6中，曲线1表示线性控制，曲线2表示饱和线性控制，曲线3表示基于变饱和函数的软变结构控制，曲线4表示基于sigmoid函数的软变结构控制。由仿真结果可知，在水下机器人深度控制中，基于sigmoid函数的软变结构控制系统，在响应速度、调节精确度方面，与基于变饱和函数的软变结构控制相差无几，而优于线性控制和饱和线性控制。在实现稳态运动过程中，控制输入更为平滑，几乎无抖动，优于其他控制情形。

4 结语

本文提出了基于sigmoid函数的水下机器人软变结构控制策略。构造了基于sigmoid函数的软变结构控制器，并给出了水下机器人软变结构控制的具体算法，并通过仿真实验对其可行性进行了检验。该软变结构控制调节精确度高，响应速度快，具有良好的动态品质，可进一步推广到其他形式的机器人模型和复杂系统。需要指出的是水下机器人具有自由度耦合和外界环境干扰情形的软变结构控制，有待于进一步研究和完善。

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