基于加速度各向同性的空间光学仪器主动隔振Stewart平台设计

佟志忠， 段广仁，何景峰，姜洪洲

(1.哈尔滨工业大学 机电工程学院，哈尔滨 1500010;2哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 1500010)

随着空间光学技术的发展，装载于航天器上的光学仪器对各种振动源的隔振和减振要求不断提高，其与航天器刚性直联的方式已不能满足高精度、高分辨率的要求。为保证高精度空间光学仪器的仪器精度，必须对其进行多维振动控制。

Stewart平台具有较高的结构刚度和精度，承载能力大，而且能够实现多自由度隔振，已被应用于空间光学仪器［1]、整星［2]等主动隔振。但 Stewart平台自由度之间存在运动耦合、动力学耦合，这种复杂的非线性、强耦合特性使得实现Stewart平台的高精度控制仍然较为困难。很多学者采用了解耦的立方 Stewart平台［1，3]，并深入研究了非线性、解耦控制问题［4]，但满足特定隔振应用的Stewart平台优化设计的研究较少。

局部各向同性的Stewart平台，在工作空间的某一点各向同性、局部邻域内耦合小，更为重要的是易于解耦，便于实现基于解耦控制、集中和分散控制或模态控制的主动隔振。空间光学仪器主动隔振平台的工作空间很小，因而局部各向同性可作为Stewart平台设计的一个重要的优化指标［5]。

正交Stewart平台是解耦的，McInroy等［6]学者对用于主动振动控制的正交Stewart平台设计及控制进行了深入的研究，基于数值的方法给出了三种具有共同正交几何特性的机构。Jafari等［7]给出了小范围工作空间内、满足正交特性的解析描述。但他们的工作本质上是一种数值方法，研究方法没有考虑负载的质量几何特性，所提出的没有给出柔顺中心的解析描述，因而设计满足给定物理几何特性的负载以及特定应用的Stewart平台较为困难。空间光学仪器主动隔振平台为黑箱振动隔离系统，控制系统一般具有独立的位置环和加速度环，要求隔振平台隔离外部扰动(加速度)并保持精密的位置。局部加速度各向同性的Stewart平台在空间传递加速度特性等同，且运动正交，易于实现解耦控制，从而隔离振动、保证位置要求。

为此，本文提出以运动正交、加速度各向同性为指标的主动隔振Stewart平台设计，考虑负载的质量几何特性，推导描述加速度各向同性的解析数学表达式，建立描述封闭、完全解析、面向特定应用的设计方法。

1 问题描述

1.1 结构描述

Stewart平台由上下平台、六个线性运动的作动器组成，结构满足镜像对称(关于XOY平面的某一轴对称)和旋转对称(沿Z轴旋转120°对称)，如图1所示，其结构由在中位位置的五个参数确定:上铰圆半径ra，下铰圆半径rb，平台中位高度H，相邻上、下铰点间夹角α与 β。

图1 Stewart平台坐标定义Fig.1 Definition of the coordinate of Stewart platform

上铰点在体坐标系{P}的坐标用PA表示，下铰点在惯性系{B}下的坐标用BB表示。根据对称性，PA和BB可写为:

式中:

θAi和θBi表示第i号上、下铰点与 X轴间的夹角，则θA和θB为:

工作空间中Stewart平台刚体动力学方程的标准形式为［8]:

式中:R为方向余弦阵;e为上下铰点间连线的单位矢量，e=(RPA+，其中Cp为运动参考点，Cp=［0 0 H]T，L为平台中位时上下铰点间距离。

如若负载的质心与运动参考点不一致，则负载的惯性矩阵不是对角阵，

式中:m 为负载质量;ρc为负载质心为负载惯量矩阵，ID=diag(IxxIyyIzz)。

负载惯性矩阵Mt的逆为:

式中:Ic为体坐标系下的负载惯量矩阵。

1.2 加速度各向同性定义及评价指标

一般而言，Coriolis和离心力项可通过逆动力学反馈控制进行补偿，而重力项可利用前馈补偿或施加重力平衡装置，这不影响系统的耦合特性，故而式(5)简化为:

平台的广义加速度可描述为:

式(10)描述了关节空间作动器出力与工作空间上平台广义加速度间的关系，并且这种传递关系不仅与负载的物理特性(惯性)有关，还与负载的几何特性(质心)有关。为分析和评价这种特性，引入加速度Jacobian阵定义，以G表示:

加速度各向同性以GGT的奇异值评价［9]，即:

加速度各向同性的最优化可用最大奇异值与最小奇异值的比表示，即GGT的条件数:

1.3 加速度各向同性与运动各向同性的联系

2 加速度各向同性的解析描述

空间光学仪器主动隔振平台的工作空间很小，且多工作于中位位置，因而本文采用局部各向同性作为隔振Stewart平台优化设计的一个重要指标。中位时R=I6×6。

2.1 GG T的符号表达形式

对于Stewart平台而言，通过调整位置或配重在XOY平面使负载质心与运动参考点重合易于实现，即pρc=［0 0 p2]T。将式(11)代入式(14)，有:

式中:

2.3 正交条件

命题1:任一个Stewart平台必存在柔顺中心，且在柔顺中心处满足正交特性。

证明:根据式(15)，GGT是对称阵。在线性代数中，任一个实对称阵都有实特征值，存在一个正交阵P，使得P－1(GGT)P。而且，若一个矩阵是实对称阵，当且仅当其存在唯一的、由规范正交基构成的特征向量阵。故而P为规范正交基构成的特征向量阵时，GGT的特征值为式(15)的主对角线元素，Stewart平台各自由度正交，称为正交Stewart平台。

Stewart平台满足正交的条件为:

即:

式(17)表明:任一个Stewart平台必然存在一点，在这点满足正交特性。若对这一点施加作用力，则只产生平动;若施加力矩，只产生转动，因此将这一点定义为柔顺中心。柔顺中心要求负载的质心与平台中位高度之间必须满足式(17)，这是Stewart平台正交的首要条件。

2.4 GG T奇异值的解析形式

Stewart平台满足正交特性时，GGT的特征值，即为GGT的主对角线元素，则用于评价加速度各向同性的指标(GGT的奇异值)为:

3 基于加速度各向同性的优化设计

基于加速度各向同性的评价指标及其解析的数学描述，本节将推求加速度部分各向同性、完全各向同性的条件，进而实现加速度各向同性的隔振Stewart平台设计。

3.1 加速度各向同性条件

3.1.1 转动各向同性

转动加速度各向同性的性能指标:

式中n为上下铰圆半径之比，n=ra。rb

将式(24)代入式(19)、式(20)，平动加速度各向同性的性能指标为:

3.1.2 平动各向同性

类似地，平动各向同性的中位高度Hv为:

对比式(24)和式(27)可知，相较于转动各向同性，平动各向同性的条件相对宽松，只与平台的结构参数有关。将式 (27)代入式(18)～式(23)，得:

3.1.3 完全各向同性

理论上讲，由于平动和转动量纲的不一致，为分析和达到完全各向同性，必须引入一个特征尺度。然而特征尺度不存在本质的物理描述，Angeles等［10]提出了一种用于工程的特征尺度选取方法。但特征尺度的选取并不唯一，为解决这一问题，本文基于完全各向同性定义特征尺度，以Lscale表示。

根据σISO_v=LscaleσISO_ω，完全各向同性的条件为:

一般而言，n＞2在工程上并不常用且与1/n为对偶机构，故限定0＜n≤2，则下列条件必须满足:

加速度各向同性时，其性能指标为:

定理1:正交Stewart平台达到平动或完全各向同性时，必然存在一个特征不变量■2，其只与负载物理属性有m关。对于具有(k≥6)个支腿、满足旋转对称的广义Stewart平台各向同性时，这一特征不变量为

完全各向同性Stewart平台的中位高度为:

将上式代入式(17)，柔顺中心表达式为:

联立式(32.b)、式(36)和式(37)，得到如下关系:

式(32)～式(38)严格描述了加速度完全各向同性Stewart平台的结构参数与负载质量几何特性之间的关系，但这些工作是基于特征尺度Lscale引入完成的。实际上，这一特征尺度定义是具有广义性性质的，可视为传感器的灵敏度，或运动传动比，抑或是控制系统的反馈比例系数，其是联结结构设计与控制系统设计的切入点，具有实际意义。尽管这在理论上具有一定局限性，但所推导的数学描述解析、封闭，完全适用于隔振Stewart平台的设计和工程实际应用。

更为重要的是，加速度完全各向同性要求负载的惯量满足Izz=2Ixx=2Iyy，而动态各向同性要求Izz=。显然，后者对负载的物理属性要求极为苛刻，在工程上几乎不可能实现，但此时加速度特性是正交的;而加速度各向同性的条件在实际应用中是可以实现的，且能够保证运动正交。故而，本文选取加速度各向同性作为设计指标之一，既能使隔振平台对加速度扰动的有效抑制，又能够保证平台运动无耦合，从而满足空间光学仪器的高精度控制要求。

3.2 加速度各向同性的隔振Stewart平台设计

根据加速度各向同性的解析、封闭的数学描述，设计满足给定负载特性的、局部加速度各向同性、运动正交的隔振Stewart平台在理论上是可行的。实际上，3.1节给出了生成一类加速度各向同性隔振Stewart平台的设计方法，根据上下平台连接铰点数的不同，将隔振Stewart平台分为四种构型:3－3，3－6，6－3和6－6 Stewart平台。

以3 －3 Stewart平台为例，此时 α =0°，β=120°，隔振Stewart平台的结构由以下几个参数确定:ra，rb、H，以及m、Izz和。表1列举了不同上下铰点圆半径之比的、加速度各向同性的隔振3－3 Stewart平台构型综合。

表1 加速度各向同性的隔振3－3 Stewart平台构型Tab.1 Configurations of vibration isolation 3 －3 Stewart platform with acceleration isotropy

上述设计属于基于代数法的设计，只能提供一种可行的实现，却不能保证其是最佳的解决方案。为满足空间光学仪器隔振平台的工作空间、无奇异、无构件干涉等要求，必须进行多目标的优化设计和校核。将本文提出的解析设计方法与PSO(Particle swarm optimization)等优化算法相结合，进行优化设计是极容易实现的。以加速度各向同性为指标的隔振Stewart平台设计，为空间光学仪器的高精度控制系统设计和实现奠定了基础。

4 结论

本文基于局部加速度各向同性、运动正交特性，给出了用于空间光学仪器主动隔振Stewart平台的设计方法。与以往工作不同的是考虑了负载质量几何特性的影响，证明了任一个正交Stewart平台必然存在柔顺中心，并给出了柔顺中心的数学表达式。所提出的加速度各向同性数学描述完全解析、封闭，揭示了各向同性、机构结构以及负载特性之间的联系，建立了生成一类加速度各向同性隔振Stewart平台的设计方法。

本文下一步工作将研究加速度各向同性、运动正交Stewart平台的主动振动控制，分析全工作空间的耦合特性及其模态解耦控制技术，为空间光学仪器的隔振提供理论依据。

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