陶瓷髋关节异响产生机理的数值模拟研究

范 娜，陈光雄

(西南交通大学 摩擦学研究所，成都 610031)

随着社会人口的老龄化，关节病患者日益增多，人工关节置换手术也在不断增加，人工髋关节的研究也越来越受重视。自1970年Boutin［1］首先将氧化铝陶瓷应用于全髋关节置换术(THA)后，陶瓷髋关节假体的使用距今已有30多年。近几年出现的第三代和第四代氧化铝陶瓷假体以其优越的摩擦学性能、极高的硬度和良好的生物相容性，日益得到医学界的认可［2－7］。但是，近几年陶瓷假体出现的“咯吱”声异响(Squeaking，以下简称“异响”)问题逐渐引起了患者和研究者的重视［8－9］。

研究表明关节异响发生的概率一般为小于1%～8%［10－13］，有的甚至超过 10%［14］，关节异响出现的概率如此之高，引起了研究者的广泛关注，探究陶瓷髋关节异响的产生机理成为了全球学者关注的焦点。国内外学者对关节异响的成因有不同的认识。Walter等［10］认为髋臼植入位置不当会导致边缘负重和撞击并最终产生异响。Nevelos等［15－16］和 Dennisa 等［17］认为髋臼和球头的微分离会导致关节负重面磨损增加，出现“条状磨损”并最终产生异响。Stewart等［18］认为配合面选材不当会使磨损增加，破坏关节负重面的润滑，并产生异响。Todd等［19］认为金属臼杯设计不当会增加金属臼杯与股骨颈的撞击，撞击产生的金属颗粒在关节负重面之间形成第三体磨损，破坏关节负重面之间的润滑，增加摩擦并最终产生异响。Hothan［20］和 Restrepo［21］认为假体柄的设计和选材对异响的产生影响很大，假体柄的刚度越小，系统就越容易产生异响。虽然学者们都有各自的观点，但是产生异响的陶瓷髋关节有一个共同点，就是配合面间的润滑膜已经被破坏，摩擦系数偏高。配合良好的陶瓷髋关节接触面的摩擦系数仅为0.001 8～0.003 2［22］，而产生异响的陶瓷配合面的摩擦系数可以高达0.53［23］。在以上的研究中，研究者主要关注产生异响假体的表面磨损现象以及材料特性，忽略了声音的本质——假体系统的振动。最近，Morlock 等［24－25］和 Walter［9，26］证明了配合面间较高的摩擦力会激发假体部件振动，部件的不稳定振动使系统最终辐射噪声。但是，摩擦振动引起关节异响的研究才刚起步，学者们对假体系统在摩擦激励下的动态响应认识不够充分，还需要做更多的研究工作。

最近，作者以摩擦振动理论为基础，通过有限元数值仿真来研究陶瓷髋关节异响的产生机理。前一阶段的研究结果证明了陶瓷接触面较高的摩擦力对系统的激励作用［27］。本文是在之前的研究基础上进一步优化模型尺寸，建立更加符合实际情况的边界条件，系统地研究假体在摩擦激励下的动态响应，深入揭示陶瓷髋关节异响的产生机理。在中国，关节异响的研究鲜见报道，所用的陶瓷髋关节也都以进口为主，本研究对正确认识关节异响的产生机理，指导陶瓷人工髋关节的设计都有着重要的意义。

1 研究方法和数值模型

1.1 复特征值提取法

汽车制动噪声［28］，轮轨曲线尖叫噪声［29］，是工程问题中常见的摩擦噪声。Akay［30］总结了摩擦噪声理论，指出研究摩擦噪声实质是研究摩擦引起系统的振动。经过多年的发展，现在有两种数值仿真方法可用于研究汽车制动噪声，分别是瞬时动态分析法［31］和复特征值稳定性分析法［32－34］。复特征值分析法能够在一次计算中预测出系统所有的不稳定振动模态即有噪声产生趋势的模态，虽然这些不稳定振动模态在实际情况中不一定都会发生，但是这种方法相对于瞬时动态分析法是非常高效的也是便于实现的。

陶瓷髋关节异响也是一种摩擦噪声。Charnley［35］早已指出，所有常见的关节材料在摩擦过程中都有可能产生声响。类似汽车制动噪声的研究，研究关节异响也可以通过有限元复特征值提取法来确定假体系统的不稳定振动模态，以分析系统产生异响的趋势。德国的 Weiss和 Morlock［24－25］首先将这种数值计算法和生物摩擦学相结合，成功地对关节异响产生的机理进行了研究。

复特征值方法主要运用Yuan［36］提出的基于有限元软件ABAQUS，考虑摩擦耦合的动力学建模方法，即对摩擦系统各部件进行离散化，首先建立没有摩擦的系统运动微分方程，如下:

式中:M为质量矩阵，C、K分别为系统的阻尼矩阵和刚度矩阵。没有摩擦时，方程(1)的系数矩阵M、C和K都是对称矩阵，所以方程(1)的特征方程的特征值不可能出现实部Re＞0的特征值，即系统的运动是稳定的。当考虑摩擦后，摩擦力方程如下:

式中:F为摩擦力，μ为摩擦系数，N为接触法向力。考虑摩擦耦合后系统的运动方程变为:

式中:Mf、Cf和Kf分别是摩擦力对质量、阻尼和刚度的影响矩阵，为非对称矩阵;Cα是摩擦力－相对滑动速度关系斜率影响矩阵，为非对称矩阵;ΔN为法向力扰动向量。摩擦力－相对滑动速度关系的表达式为:

式中:μs为静摩擦系数，α为摩擦力－相对滑动速度关系斜率，v为相对滑动速度。

消去ΔN后，可得如下的简化方程:

式中:Mr、Cr和Kr为简化的系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。当存在摩擦时，它们都是非对称矩阵。方程式(5)对应的特征方程为:

设方程存在复根:

则方程式(6)的通解为:

式中:{φi}是特征方程式(6)的特征矢量。

通过复模态分析可以求得摩擦耦合系统的模态参数。根据公式(8)可以看出，当系统的特征值实部βi为正时，系统的振动为不稳定振动。定义系统模态阻尼比:

式中:ζ可用来表示摩擦系统发生不稳定振动的趋势，其值为负的时候系统就会发生不稳定振动，即系统在微小干扰下会出现振幅愈来愈大的自激振动。本次研究中通过模态阻尼比来判断假体系统的稳定性，若模态阻尼比为负值则系统不稳定，此时系统有产生异响的趋势。

1.2 有限元模型及部件的相互关系

用有限元软件ABAQUS6.7建立的陶瓷人工髋关节模型如图1所示，包括金属臼杯、陶瓷髋臼、陶瓷球头和假体柄(如图1(a))。为了模拟髋关节假体系统在体内的情况，金属臼杯和假体柄将被植入到模拟人体骨中，如图1(c)所示。髋臼侧模拟人体骨模拟的是人体盆骨的一部分，命名为bone P，股骨侧模拟人体骨模拟的是人体大腿骨，命名为bone F。本次建模过程中，模型尺寸非常接近实际的假体尺寸，其中球头直径为28 mm，髋臼外径为44 mm。金属臼杯和假体柄选用Ti6Al4V 合金［37］，髋臼和球头选用氧化铝陶瓷［38］，模拟人体骨选用各相同性的均匀材料［25］，材料属性如表1所示。所有部件均选用六面体C3D8I划分网格(如图1(b))。为提高计算精度，在髋臼和球头的接触区域，进行了网格细化。本次研究中，髋臼和球头的切向接触属性定义为罚函数摩擦方程，选择有限滑移运算法则，并且在每次仿真计算中都要设定一个库伦摩擦系数。配合面法向接触属性为默认的硬对硬接触。其它接触属性如:bone P和金属臼杯、金属臼杯和髋臼、球头和假体柄、假体柄和bone F的接触区域不是本次研究中考虑的重点，在不影响计算结果的情况下均用绑定约束。

图1 陶瓷髋关节假体系统的有限元模型Fig.1 FE model of a ceramic hip endoprosthesis system

表1 假体的材料参数Tab.1 The parameters of prosthetic materials

1.3 模型的加载和边界条件

模型的加载和边界条件如图2所示。由于本次研究的关键是识别出系统在摩擦激励下的不稳定振动模态，所以在基本满足对髋臼和球头摩擦激励的仿真要求下，没有考虑肌肉力的作用，加载时只考虑贯状面的关节合力。研究表明关节合力是人体体重的2倍～3倍［39］，假设成年人重60 kg，那么髋关节合力可以设为1 500 N。建模中，将关节合力垂直于地面向上施加于股骨组件底部(图2中红色箭头)。

系统的边界条件对计算结果影响很大，但是髋关节假体在体内的固定情况非常复杂，数值仿真很难模拟出精确的边界条件。因此在保证计算结果准确可靠的基础上，要对假体的边界条件进行一定的简化。我们通过观察OBD文件接触属性的历史输出，包括加载过程中的接触压力以及摩擦应力来判断边界条件的准确性(1.4节中将详细阐述)。经过大量的数据验证，系统最终的边界条件设为髋臼组件边缘完全固定和股骨组件下方边缘完全固定。

图2 髋关节假体模型的加载和边界条件Fig.2 FE model of a hip prosthesis with loading and boundary conditon

1.4 分析步

有限元分析过程中需要建立以下5个分析步:

(1)假体系统施加较小载荷的非线性静态分析;

(2)假体系统施加所需要载荷的非线性静态分析;

(3)股骨侧假体施加转动速度的非线性静态分析;

(4)不考虑阻尼情况下，系统的固有频率提取;

(5)摩擦耦合下的复特征值提取;

一般情况下，为了保证配合面稳定接触，应该先给系统施加一个较小的载荷，然后再施加系统需要的载荷。本次研究中，先给系统施加10 N的载荷，然后给系统施加所需要的载荷1 500 N。图3(a)，图3(b)分别表示了为系统施加10 N和1 500 N后，接触面等效应力的分布情况，此时陶瓷配合面的接触关系是非常稳定的。第三个分析步是将股骨组件包括球头、假体柄和 bone F 设定为一个整体，并以 1rad/s［25，40］绕 Y 轴(图2中坐标轴)做旋转运动，此时接触面将产生摩擦滑移，从而产生摩擦力。为确保配合面之间的确产生了摩擦力，且摩擦力满足库伦摩擦，在分析步中设定了接触关节的历史输出。图4所示为陶瓷髋臼和陶瓷球头接触关系的历史输出，包括接触力(图4(a))和摩擦力(图4(b))。设定每一个分析步的步长为1.0，由图4(a)可知，配合面的接触力在第一个分析步完成时为10 N，第二个分析步完成时为1 478N，与分析步中设置的加载条件基本一致，这表明系统建模的准确性。假设接触面的摩擦系数为0.25，由于接触面是曲面，图4(b)所示的摩擦力为330 N，基本满足库伦摩擦力，这保证了计算结果的准确性。第四步固有频率的提取，这是为复特征值计算提供子空间模态。第五步复特征值提取，根据假体系统不稳定振动模态的特征参数——模态阻尼比和特征频率，来判断系统的不稳定振动以预测系统产生异响的趋势。如1.1节所述，若假体系统的模态阻尼比为负值则系统不稳定。

2 结果与讨论

2.1 假体系统的振动特性分析

假体部件的振动特性包括部件的固有频率和固有振型，各个部件的振动特性直接反映系统的动力学特性。当外界激励的频率与某个部件或某几个部件的固有频率接近时，系统就会发生共振，变得很不稳定，并最终辐射噪声。表2所示为假体各个部件在自由状态下的固有频率和振型。此时陶瓷髋臼和陶瓷球头的固有频率非常高，其振动频率远超出了人听觉范围内20～20 kHz［41］，这说明单独的陶瓷髋臼和陶瓷球头的振动不会产生异响。骨架P，金属臼杯，假体柄和骨架F的固有频率较低，接近实际测得的异响频率400～7 500 Hz 和 1 500 ～7 500 Hz［26，40］。这说明骨架 P，金属臼杯，假体柄和骨架F的共振很有可能是系统产生异响的振源。但是，假体系统具有特定的结构和约束条件，为了进一步确定部件的振动特性，还要考虑部件之间的结构关系。

当考虑假体系统的结构和约束条件时，将假体部件分为2组，分别是髋臼组件和股骨组件。髋臼组件包括骨架P，金属臼杯和陶瓷髋臼。在人工髋关节置换术中，金属臼杯牢牢地固定在盆骨中，而陶瓷髋臼与金属臼杯也是固定在一起的，所以骨架P，金属臼杯和陶瓷髋臼可以作为一个整体来分析。股骨组件包括陶瓷球头，假体柄和骨架F。在人工髋关节置换术中，球头和假体柄的颈部牢固的装配在一起，然后将假体柄的体部通过骨水泥牢固地固定在大腿骨中，所以也可以将其作为整体来分析。

图5和图6分别表示了髋臼组件和股骨组件的固有频率和振型。从图5可以发现髋臼组件的固有频率非常高，远高于异响的振动频率。虽然单独分析骨架P和金属臼杯得到的固有频率在测得的异响频率以内，但是当这些部件以一定条件装配成整体结构时得到的固有频率远高出异响频率。所以，髋臼组件的共振不是异响产生的主要原因。图6所示为股骨组件的振动特性，选择7 000 Hz以内的固有频率进行分析。由图6可以发现，股骨组件的固有频率非常接近异响的振动频率1 500～7 500 Hz［40］。虽然单独分析陶瓷球头得到的固有频率远高出异响频率，但是当考虑陶瓷球头和假体柄以及骨架F的结构关系时，股骨组件整体的固有频率与异响频率非常接近，这说明股骨组件的共振很有可能是异响的振源。为了进一步确定关节异响的振源，揭示异响的产生机理，以下将分析假体系统在摩擦激励下的动态响应。

图5 髋臼组件的模态振型Fig.5 Mode shapes of acetablum components

图6 股骨组件的模态振型Fig.6 Mode shapes of femoral components

2.2 假体系统在摩擦激励下的动态响应

2.2.1 系统的不稳定模态频率

运用复特征值提取法来研究假体系统在摩擦激励下的动态响应实质就是分析摩擦耦合系统的不稳定模态频率和不稳定模态振型。图7显示了系统在不同摩擦系数下(u=0.1～0.5)，模态特征值在频域上的分布情况。X轴表示系统的模态频率，Y轴表示系统的模态阻尼比。由图7可知，在不同摩擦系数下，系统的不稳定模态频率分布在三个区域，分别是1 843～2 050 Hz，3 300 Hz左右以及4 700～4 970 Hz。此外，当摩擦系数为0.4和0.5时，系统在8 839 Hz和10 710 Hz也出现了不稳定模态。观察这些不稳定模态频率的大小，它们基本满足倍频的关系，主频是1 843 Hz。将数值仿真结果与实际测得的异响频率做比较，如图8和图9所示［26，40］。图 8 中所示的异响频率集中在1 546 Hz，3 046 Hz和4 593 Hz，这些振动频率也存在倍频的关系，其主频是1 546 Hz。图9中所示的异响频率集中在1 540 Hz，3 090 Hz 和 4 620 Hz，以及 2 530 Hz，5 070 Hz和7 580 Hz，这些振动频率也存在倍频的关系，其主频是1 546 Hz和2 530 Hz。仿真得到的不稳定模态频率与实际测得的不稳定模态频率都基本满足倍频的关系，而且仿真得到的主频1 843～2 050 Hz也与实际测得的主频1 540～2 530 Hz非常接近。本次仿真的到的结果是迄今为止运用仿真模拟得到的最接近实际情况的结果［24，26－27］。这证明了本次数值模型建立的准确性，也说明了复特征值法应用于研究关节异响是非常可靠的。

2.2.2 系统的不稳定模态振型

以摩擦系数u=0.35为例，来说明假体系统的不稳定模态振型。图10(a，b，c)分别表示了系统在不稳定模态频率1 875 Hz，3 311 Hz和4 865 Hz时的不稳定模态振型。由图可知髋臼组件的变形很小，股骨组件变形很大，分别表现为绕Z轴的扭转振动，绕X轴的弯曲振动和球头的大变形。将系统的3不稳定模态振型与3.1节中股骨组件的固有振型(图4)进行比较，可以发现系统的不稳定模态频率和振型与股骨组件的固有频率和振型非常接近。图10(a)与图(4)股骨组件在频率2 000 Hz时对应的固有振型非常接近;图10(b)与图(4)股骨组件在频率为3 228.2 Hz时对应的固有振型非常接近;图10(c)与图(4)股骨组件在频率4 386.9 Hz时对应的固有振型非常接近。一般来讲，频率越低的不稳定模态在实际情况中越容易被激发出来。因为从能量角度上讲，低频振动相对高频振动所需要的能量较少，所以系统产生的摩擦能量能够先满足低频振动的需要，往往较难满足高频振动所需要的能量，所以频率为1 843～3 300 Hz的不稳定模态频率在实际情况中最容易被激发出来。所以，股骨组件的扭转振动和弯曲振动是系统不稳定振动的振源，是异响产生的根本原因。当系统取其它摩擦系数时，得到的不稳定模态频率和振型相似，在此不再折述。

既然仿真结果证明了股骨组件的弯曲振动和扭转振动是系统产生异响的根本原因，那么可以通过改变股骨组件的结构，如提高假体柄的刚度或改变假体柄的几何结构等方法来提高股骨组件抗扭转振动和弯曲振动的能力，从而提高假体系统的振动稳定性。这一部分的研究工作正在着手进行中，而且现在已经有学者认识到假体柄对关节异响的影响作用［20－21］。

3 结论

本文建立了陶瓷髋关节假体的有限元模型，细致分析了假体系统的振动特性，并利用复特征值提取法揭示了假体系统在摩擦激励下的动态响应即系统的不稳定模态频率和不稳定模态振型，最终探究出关节异响的产生机理。本次研究得到的结论具体如下:

(1)研究系统的固有频率不仅要考虑单独部件的振动特性，还要考虑部件间的结构关系。单独的陶瓷球头固有频率很高，远高于异响频率，但是将股骨组件(包括陶瓷球头，假体柄和Bone F)作为整体考虑时，得到的固有频率接近异响频率，与异响有重要关系;单独的金属臼杯频率较低，在异响频率以内，但是当考虑整个髋臼组件(包括Bone P，金属臼杯和陶瓷髋臼)时，得到的固有频率远高于异响频率，所以髋臼组件的振动与异响产生关系很小。

(2)假体系统在摩擦激励下的动态响应特性表现为股骨组件在1 843～2 050 Hz时绕Z轴的扭转振动，在3 300 Hz左右时绕X轴的弯曲振动以及在4 700～4 970 Hz时球头的大变形。其中，频率越低的不稳定模态在在实际情况中越容易被激发出来，所以股骨组件在摩擦激励下的扭转振动和弯曲振动是陶瓷髋关节异响产生的根本原因。

(3)本次仿真结果是迄今为止运用仿真模拟得到的最接近实际异响频率的结果，这证明了将数值仿真计算和生物问题相结合的可行性，为今后研究相关问题提供了思路。

下一步的研究中，建议通过改变股骨组件的结构，如提高假体柄的刚度或是改变其几何结构来提高股骨组件抗弯曲变形和扭转变形的能力，来提高系统的振动稳定性，从而提出抑制关节异响的方法。

图10 陶瓷髋关节假体系统在摩擦系数u=0.35时的不稳定模态振型Fig.10 Unstable mode shapes of the ceramic hip endoprosthesis system at μ =0.35

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