离散时间系统分析中初始条件的确定

赵立岭

（德州学院 物理系，山东 德州 253023）

离散时间系统分析中初始条件的确定

赵立岭

（德州学院 物理系，山东 德州 253023）

由于离散时间系统的差分方程具有迭代性，系统的全响应、零输入响应和零状态响应的初始条件可以相互转化.前向差分方程描述的系统，利用Z变换求解时，只需进行简单的初始条件替换，即可得到零输入响应的变换式.

离散时间系统；零输入响应；零状态响应；初始条件

对线性时不变系统来说，响应具有可分解性.线性时不变离散时间系统差分方程(式(1)、(2))的完全响应y(n)可分为零输入响应yzi(n)和零状态响应yzs(n)(式(3))[1-2].在时域分析中，系统完全响应、零输入响应和零状态响应表达式中的待定系数，需要根据各自初始条件进行确定.在Z变换域分析中，零输入响应也需要相应的初始条件确定.系统分析时，给定的条件往往是一组数据，可能是全响应的条件{y(n)|0≤n≤N-1}，也可能是零输入响应的条件{yzi(n)|0≤n≤N-1}或{y(n)|-N≤n≤-1}，还可能是零状态响应的条件{yzs(n)|0≤n≤N-1}，其中N是系统的阶次.与连续时间系统的数学模型微分方程不同，离散时间系统的数学模型差分方程具有迭代性，不同响应的初始条件之间可以相互转换，这为离散时间系统地分析带来方便.

1 零输入响应的边界条件

零输入响应对应于系统激励为零时的响应，满足方程式(4).如果已知零输入响应的边界条件{yzi(n)|-N≤n≤-1}，可通过式(4)迭代出零输入响应的初始条件{yzi(n)|0≤n≤N-1}.由于式(4)中激励为零，零输入响应的表达式在n<0时仍旧成立，故也可由边界条件{yzi(n)|-N≤n≤-1}直接计算零输入响应的待定系数.

对零状态响应而言，当n<0时，响应为零，由式(3)可得：

因此，零输入响应的边界条件{yzi(n)|-N≤n≤-1}也就等于全响应的边界条件{y(n)|-N≤n≤-1}.通过差分方程式(1)，可以迭代出全响应的初始条件{y(n)|0≤n≤N-1}，从而计算全响应中的待定系数.

由零输入响应的初始条件{yzi(n)|0≤n≤N-1}和全响应的初始条件{y(n)|0≤n≤N-1}，通过式(3)可得到零状态响应的边界条件{yzs(n)|0≤n≤N-1}，从而计算零状态响应表达式中的待定系数.

2 全响应的初始条件

如果已知全响应的初始条件{y(n)|0≤n≤N-1}，可通过差分方程式(1)迭代出n<0的一组值{y(n)|-N≤n≤-1}，由式(5)可知，该组数据就等于零输入响应的边界条件 {yzi(n)|-N≤n≤-1}.接下来，可按前述方法由{yzi(n)|-N≤n≤-1}确定零状态响应初始条件{yzs(n)|0≤n≤N-1}.

例 设离散系统差分方程为y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)，激励x(n)=2nu(n)，若(1)已知yzi(-1)=1，yzi(-2)=2，求y(0)、y(1)、yzs(0)、yzs(1)；(2)已知y(0)=1，y(1)=2，求yzs(0)、yzs(1)、yzi(0)、yzi(1).

解 (1)y(-1)=yzi(-1)=1，y(-2)=yzi(-2)=2

由系统差分方程可得：y(n)=x(n)-3y(n-1)-2y(n-2)

n=0时，y(0)=x(0)-3y(-1)-2y(-2)=1-3-4=-6

n=1时，y(1)=x(1)-3y(0)-2y(-1)=2+18-2=18

同理，由方程yzi(n)+3yzi(n-1)+2yzi(n-2)=0及yzi(-1)=1、yzi(-2)=2，可迭代得出yzi(0)=-7，yzi(1)=19

则：yzs(0)=y(0)-yzi(0)=-6-(-7)=1

(2)由系统差分方程可得：

即：yzi(-1)=y(-1)=-1.5，yzi(-2)=y(-2)=2.25

分别令n=0、1，将yzi(-1)、yzi(-2)代入零输入响应方程

可得：yzi(0)=0、yzi(1)=3

则零状态响应的初始条件为：

3 前向差分方程初始条件的确定

对离散时间系统的零状态响应yzs(n)而言，n<0时，响应为零.对前向差分方程式(2)描述的系统，通过迭代可以得出，当n

也就是说，此时全响应的初始条件{y(n)|n≤N-M}，就等于零输入响应的初始条件{yzi(n)|n≤N-M}.利用该结论在变换域中求解零输入响应时，会使分析变得简单.

设某离散时间系统的差分方程为：

其中x(n)=x(n)u(n)，零状态响应满足yzs(n+2)+a1yzs(n+1) +a0yzs(n)=x(n)，且yzs(-1)=yzs(-2)=0.

当n=-2时，yzs(0)=x(-2)-a1yzs(-1)-a0yzs(-2)=0

当n=-1时，yzs(1)=x(-1)-a1yzs(0)-a0yzs(-1)=0

从而可得：y(0)=yzi(0)、y(1)=yzi(1)

将式(7)所示差分方程进行单边Z变换并整理的：

上式右边第二项就是零输入响应的Z变换式.

当前向差分方程的N=M时，如：

将方程两边进行单边Z变换，整理可得：

式(10)右端第二项含有激励的值，是不是零输入响应呢？为此，我们分析式(9)所示系统的零状态响应方程：

把式(3)、(11)、(12)，代入式(10)可得：

可见式(13)或(10)右端第二项是零输入响应.

将式(13)与式(10)、(8)相比较发现，利用Z变换求解前向差分方程的零输入响应时，只需将响应变换式中的激励初始项去掉，全响应初始值{y(n)|0≤n≤N-1}替换为零输入响应初始值{yzi(n)|0≤n≤N-1}，即得到零输入响应的变换式.

4 结论

综上所述，利用差分方程具有迭代性的特点，在对线性时不变离散系统进行分析时，可将全响应、零输入响应和零状态响应的初始条件进行转化，方便响应的求解.同时，在变换域分析前向差分方程所示系统零输入响应时，也可通过初始条件的转换，快速确定响应的变换式.

〔1〕吴大正.信号与线性系统分析（第4版）[M].北京:高等教育出版社,2006.

〔2〕郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统（第二版）[M].北京:高等教育出版社,2003.

O231

A

1673-260X（2012）05-0012-02

德州学院教育改革立项课题（JGLX-A09008）