二次函数图像交轴三角形的一个性质

☉河南省商水县城关乡一中 康会娈

若二次函数图像与坐标轴有三个交点，我们把以交点为顶点的三角形叫做二次函数图像交轴三角形，它有一个有趣性质.

性质 一元二次函数y=ax2+bx+c（ac≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，△=b2-4ac，可得：

图1

证明： 如图1，设A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，c），则AC2=x12+c2，BC2=x22+c2，AB2=（x1-x2）2.

性质反映了抛物线内接三角形的几何特征与二次函数不变量之间的内在联系，熟悉结论，灵活运用，往往会以简驭繁，收效奇特.

例1 已知二次函数y=-2x2+x+3与x轴交于A、B，与y轴交于点C.求∠ACB的度数.

解：由函数式知a=-2，b=1，c=3.则△=25，ac=-6＜-1，所以

例2 已知二次函数y=mx2+（3-m）x+2m+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∠ACB为锐角，求m的取值范围.

解：由函数式得a=m，b=3-m，c=2m+3，所以ac=m（2m+3），△=（3-m）2-4m（2m+3）=（3-7m）（m+3）.

要使∠ACB为锐角，只需ac＜-1，或ac＞0，即m（2m+3）＞0或m（2m+3）＜-1，解之得：

例3 已知二次函数y=mx2-3x+n与坐标轴交于A、B、C三点，且△ABC为直角三角形，若函数图像经过点，求二次函数的解析式.

解：由△ABC为直角三角形得mn=-1.

例4 已知二次函数y=ax2-3x+c与x轴正方向交于A、B两点，与y轴正方向交于点C，经过A、B、C三点作⊙D，若⊙D与y轴相切.（1）求a、c满足的关系式；（2）求tan∠ACB.

解：设A（x1，0）、B（x2，0）、C（0，c），x1、x2是方程ax2-3x+c=0的两个正根，则

（2）因为ac=1＞0，△=9-4ac=5，所以∠ACB为锐角