巧合外衣下的本质——剖析一道求解过程错误的中考题

☉江苏省兴化市陈堡初级中学 唐处文

巧合外衣下的本质
——剖析一道求解过程错误的中考题

☉江苏省兴化市陈堡初级中学 唐处文

偶尔翻阅教辅材料，看到一道中考题，其求解过程错误，但答案正确，现转录下来，若有不当之处，敬请读者指正.

（中考题）如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2－4a－5，那么a的取值范围是________.

标准答案：因为b、c是为互不相等的实数.

标准答案只是由（2）得出a的范围，没有用到（1），从理论上讲，这个答案是有问题的.下面我们利用高中线形规划的知识给出解析.

先画出（2）所表示的区域（如图1，阴影部分所示，不包括边界）.

图1

图2

显然不等式（2）比不等式组（3）的范围要大，因此，中考题给出的标准答案，从理论上讲是错误的！下面给出本人的解答.

解：因为b、c是为互不相等的实数，

解（4）（5）（6）组成的不等式组得a＞－1.

反思：运算结果令我们大吃一惊，两种算法答案居然一样！为什么呢？

首先，经过冷静地思考我们知道，（4）（5）组成的不等式组的解与（4）（5）（6）组成的不等式组的解是一样的，这就是答案一样的原因！但巧合决不能掩盖事实！否则，将以讹传讹，混淆视听！

其次，过程比结果更重要，过程错误同样说明此题的解答是错误的！

另外，需说明一点，解不等式b2+c2=2a2+16a+14＞0有超纲之嫌，同样解不等式组（4）（5）（6）也有超纲之嫌，所以此题既有难以察觉的过程错误，也有不可原谅的超纲之嫌！

结束语：当然“错误”是一种宝贵的教学资源，作为数学教师应该搜集数学中的常见错误，冷静分析错误的原因，它对学生具有特殊的教育价值.我们应该对其进行开发、利用，变“废”为“宝”，让“错误”美丽起来.