井田问题的探究

☉广州大学计算机教育软件研究所 曹路路 朱华伟

井田问题的探究

☉广州大学计算机教育软件研究所 曹路路 朱华伟

图1

图2

这就是著名的井田问题，该结论对任意凸四边形都成立，文献［1］中给出了详细的证明.关于凸四边形分划问题，文献［2］中将凸四边形的每条边三等分推广到每条边n等分，考虑中间位置上的四边形，可得类似的结论.

命题1 如图2所示，设凸四边形ABCD的面积为S，将它的每条边都n等分，分点分别是R1，R2，…，Rn－1；Q1，Q2，…，Qn－1；T1，T2，…，Tn－1和P1，P2，…，Pn－1.则由PmQm，Pm+kQm+k，RmTm和Rm+kTm+k围成的四边形A′B′C′D′的面积为·S，其中m=n－（m+k）.

上面的结论都是针对中间位置上的四边形，那么位于凸四边形顶点处的四个小四边形，文献［3］给出了以下结论：

命题2 如图3所示，设ABCD是凸四边形，把AB和CD m等分，并用线段连接相应的分点；把BC和DA n等分，也用线段连接相应的分点.由此得到n×m个小四边形，标记如图所示.记图中c1的面积为S11，c2的面积为S12，…，cm的面积为S1m；d1的面积为Sn1，d2的面积为Sn2，…，dm的面积为Snm，则S11+Snm=S1m+Sn1.

图4

图3

在以上命题的证明过程中都用到了下面这个结论，本文的后面也将会用到它，即：

本文通过对这些结论及其证明方法进行研究，得到一些有趣的结论.

文献［4］证明了：如果一组直线将凸四边形一组对边等分，那么用这些直线分此凸四边形为多个小四边形，它们的面积构成等差数列.

下面我们把这个结论推广到两组对边都n等分的情况：

命题4 如图5所示，将凸四边形ABCD的每条边都n（n≥3）等分，并连接每组对边上相应的分点.连接得到的线段将四边形ABCD分割成n2个小四边形，那么同行（列）的n个小四边形的面积成等差数列，并且每行（列）的公差相等；位于对角线上的n个小四边形的面积也成等差数列.

证明：如图5所示，设Sij表示小四边形的面积，其中i，j均是正整数，且1≤i，j≤n.

首先，根据命题3可得这些连线的交点是它所在线段的n等分点.那么，根据文献［4］中的结论，即证同行（列）的n个小四边形的面积成等差数列.

其次，证明位于对角线上的n个小四边形的面积成等差数列.

设S11，S12，…，S1n的公差为d1；S11，S21，…，Sn1的公差为d2.

运用命题2，得：

从而证明S11，S22，…，Snn是以S11为首项，d1+d2为公差的等差数列.

最后，证明每行（列）的公差相等.

设第i行的n个小四边形的面积Si1，Si2，…，Sin构成等差数列的公差为di，其中i=2，3，…，n.

图5

即证行之间的公差相等.

同理可证列之间的公差也相等.证毕.

评注：在图5中，根据命题4可知，任意给定三个不同行且不同列的小四边形的面积，即可求出其余每块小四边形的面积.

下面运用命题4，我们给出1980年环球城市数学竞赛初中组春季赛第四题的另一种简捷的证明.

证明：设Sij表示小四边形的面积，其中i，j都是正整数，且1≤i，j≤m，即证：

其中i1，i2，…，im是1，2，…，m的一个排列.

根据命题4，设每列小四边形的面积构成以d为公差的数列，则：

证毕.

接下来我们不再考虑对凸四边形的边等分的情况，但是在满足一定的比例关系时，依然可得到与井田问题想类似的结论，即

图6

则SA′B′C′D′=（1－2α）（1－2β）SABCD.

证明：首先证明SEFGH=（1－2α）·SABCD.

如图6所示，连接AH，AC，FH，FC.

其次，运用命题3，得：

在命题6的条件下，除四边形A′B′C′D′外的八个小四边形的面积之间有如下关系：

命题7 如图7所示，在命题6的条件下，设四边形ABCD的面积为S，小四边形的面积用Sij表示，其中i，j均是正整数，且1≤i，j≤3，S22=SA′B′C′D′.则：

所以（1）式成立，同理可证（2）式成立.

故（3）式成立.证毕.

评注：给定四边形ABCD的面积，将除A′B′C′D′外的八个四边形分为三组：（S12，S32），（S21，S23），（S11，S13，S31，S33）. 根据上面的三个公式，若每组中确定一个四边形的面积，则可求其余五个四边形的面积.特别的，如果α=β，那么只需知道四边形ABCD一个顶点处的小四边形及其相邻的一个小四边形的面积，就可以求出其余六个四边形的面积.

图7

1.张景中.新概念几何［M］.北京：中国少年儿童出版社，2012.

2.钱照平.中位四边形面积定理的推广［J］.中学数学教学，1993，4.

3.中国数学奥林匹克委员会.环球城市数学竞赛问题与解答［M］.北京：开明出版社，2004.

4.邓远源.关于凸四边形的一个分划问题［J］.中学数学月刊，2000，6.

5.付真凯.中位四边形的面积定理［J］.数学通报，1992，9.

6.赵振威.中学数学方法指导［M］.北京：科学出版社，1988.