线性化拟合高次非球面①

王艳松， 吴建宏， 吴丽英

(1.同济大学汽车学院，上海201804;2.岢岚县东校，忻州036300)

0 引言

离轴非球面反射镜不断大型化的发展趋势对其制造技术提出了新的挑战，严格地来讲，非球面的加工与检测技术是一个整体，在某种程度上，获得高质量的非球面的关键技术在于能否提供可靠的行之有效的检测结果指导加工［1］.

然而，非球面元件从研磨阶段到抛光阶段，其面形精度的跨度为20～40um［2］，材料去除量比较大，同时，由于受到制造过程中诸多工艺参数的影响，非球面镜的顶点曲率会产生较大的偏差，超出了精度规定范围.因此能否保证非球面各个拟合参数的精度是非球面制造工艺过程中的一个重要问题.

光学系统中引入的非球面，多采用回转曲面［3］，决定非球面轮廓的常用曲线有单调型，非单调型，极坐标型，超二次型和法线象差型［4］.最常用的非球面有二次非球面和高次非球面［5］.

由于简单的二次非球面参数少，故可以利用线性或者非线性的拟合方法达到较好的拟合精度，但是高次非球面的拟合属于高阶非线性，多变量大范围的拟合，使用一般的迭代算法，很难找到较好的拟合结果，而且由于其高度依赖初值，使得问题复杂化;使用智能算法，则由于多变量，大范围使得求解的时间变长，求解的精度下降，甚至不能够求解.本文就是针对这一难题进行探讨.

1 高次非球面模型及含义

超二次型的方程一般为［6］:

式中，c为顶点曲率，c=1/r0.H(x2)为高次项部分，常记为:

2 线性拟合抛物线型高次非球面

令 x1=x2，x2=z2，则(3)式变为:

该残差需要通过高次项部分进行补偿，而高次项部分，则很容易转化为线性化模型为:

图1 抛物线型的拟合效果图

图2 抛物线型的拟合残差图

图3 M型的拟合效果图

由拟合结果便可求出高次项的系数.采用抛物线型的超二次型(7参数)实验数据，利用上述方法进行拟合.图1为抛物线型拟合的效果图，由图可知，利用线性化可以很好的拟合高次抛物线型高次非球面方程;图2为抛物线型拟合残差图，可以得到拟合精度高达1um数量级.

图4 M型的拟合残差图

图5 W型的拟合效果图

图6 W型的拟合残差图

3 线性拟合W和M型高次非球面

对于W型和M型的高次非球面，由于其本质上是自变量的四阶函数，所以其主要部分是z=，高次项起着补偿作用，主要部分变形为:

c=2c1和.主要部分的拟合残差为:

该残差需要通过高次项部分进行补偿，拟合方法与前述方法类似.分别采用W和M型的超二次型(7参数)实验数据，利用上述方法进行拟合如图3所示.

为M型拟合的效果图，图5为W型拟合效果图，由图可知，利用线性化可以较好的拟合高次抛物线型高次非球面方程;图4为M型拟合残差图，图6为W型拟合残差图，可以得到拟合精度高达10um数量级.

4 结论

本文将高次非球面的拟合问题转化为多元线性拟合问题，经过实例验证，该方法取得了满意的拟合效果和精度.该方法操作简单，可靠性高，不需要初值，在解决高阶多变量大范围问题方面有难以取代的优势.然而从拟合结果可以看出，该方法在局部区域拟合效果不佳，这还有待于进一步研究，线性化的策略还需要进行改进，拟合精度还需要进一步提高.

［1］程灏波，等.离轴非球面轮廓测量导轨精度补偿模型［J］.光学技术，2003，29(2):533 －535.

［2］程灏波，王英伟，冯之敬，等.光学非球面二次曲面常数及顶点曲率的研究［J］.光学技术，2004，30(3):311 －317.

［3］Zverev，V.A，Rytova，E.S，Timoshchuk，I.N.How the Decentering of Surfaces of Revolution Affects The Position of the Image Plane［J］.Journal of Optical Technology，2010，6.P.

［4］袁吕军，陈韬.高次非球面的工艺技术研究［J］.应用光学，2011，32(2):335 －342.

［5］陈旭，刘伟奇，康玉思，等.Offner补偿器的结构设计与装调［J］.光学精密工程，2010，18(1):88 －93.

［6］Smith W J.Modern Optical Engineering［M］.USA:Printed and Bound by R R Donnelley＆ Sons Company，2000.