交直流并联输电系统的非线性分岔分析

杨 秀，王瑞霄，舒海莲

（1.上海电力学院电力与自动化工程学院，上海 200090；2.南京南瑞继保电气有限公司，南京 211106）

电压稳定作为非线性动力系统稳定性一方面，具有很强的非线性特征，传统的线性分析方法无法准确计及系统的非线性特性［1］。分岔理论能够精确描述非线性系统失稳的动态过程，深刻揭示系统失稳的机理，并且是对于电压静态、动态稳定普遍适用的数学方法。目前该理论在电力系统的电压稳定研究中起着重要的作用［2］，并扩展到风电接入系统的非线性特性分析［3］。

分岔包含静态和动态两个方面。静态分岔指平衡点的数目和稳定性随参数变化而发生的变化，分析时忽略系统元件与调节器的动态作用，系统方程用代数方程式描述。与电压崩溃相关的主要静分岔类型是传统的鞍结点分岔［4］SNB（saddle node bifurcation）和新型的极限诱导分岔［2］LIB（limit induced bifurcation），另一方面，电力系统中的诸多动态因素，如发电机及其控制系统，有载分接开关OLTC（on－load tap changer）动态，负荷的动态特性等都对电压稳定起着重要的作用，这就涉及到动态分岔，其中Hopf分岔是动态分岔的基本形式［5］。大量的研究表明，系统在失稳前可能会经历Hopf分岔、环面折叠分岔和倍周期分岔等［5～7］，有的分岔会直接导致失稳，有的则导致静态性能恶化。目前普遍认为Hopf分岔导致电压周期振荡，倍周期分岔的相继发生产生混沌。此外，Maszalek与王庆红等［8，9］探讨了电力系统微分代数方程的微分奇异诱导分岔SIB（singularity－induced bifurcations）的现象，SIB是当平衡点位于微分代数模型代数子系统的奇异流形上时出现，其与电压稳定的关系目前还有待进一步研究。余贻鑫等［10］学者对电力系统由分岔导致混沌的途径及由不同分岔类型与混沌界面所构成电力系统小扰动稳定域进行了深入研究。

与交流输电系统相比，当电网增加直流输电环节后，由于HVDC控制系统及HVDC输电线路的动态特性，以及交直流接口方程的非线性，整个系统将具有更多、更复杂的动态环节与非线性环节。但与交流系统电压分岔研究中取得的成果相比，应用分岔理论对HVDC系统或交直流输电系统进行电压稳定方面的研究很少，且缺乏深度。

Carnizares等［11，12］将崩溃点法与延拓法结合，用潮流雅可比矩阵的奇异代替系统的非线性微分代数方程的雅可比矩阵的奇异来计算交直流电力系统的鞍结点，但所采用的方法只是分析静态分岔，缺乏动态分岔的研究。Aik等［13］应用分岔理论对HVDC系统的非线性特性进行了初步分析，考虑了HVDC线路与HVDC控制系统的动态特性，但系统模型进行了许多简化，并且只是计算了具体的分岔点，也没有深入研究这些分岔是否导致电压失稳，以及导致失稳的途径。所采用的系统模型比较简单，没有考虑发电机与负荷模型的动态特性。

1 AC／DC系统的分岔建模

本文采用的系统结构为两机3节点系统，系统模型典型两机3节点模型，如图1所示，为一个交直流输电系统模型。

发电机采用最简单的二阶模型，即假定发电机暂态电势恒定，忽略励磁绕组的动态过程。负荷采用Walve模型，Walve模型是一种能够描述扰动下感应电动机动态行为的综合负荷模型，包含商业居民与工业两种负荷类型，商业与居民采用恒功率负荷模型，工业负荷包括静态与动态两部分，静态部分采用ZIP模型，动态部分则是负荷所在母线电压与相角的导数的函数，具体形式为

式中，P1、Q1代表恒功率负荷模型。

图1 交直流输电系统模型Fig.1 Model of AC／DC system

在直流系统运行中，通过控制整流侧和逆变侧的可控硅元件触发角可达到控制直流系统电压和电流（或输送功率）的目的。一般地在正常运行时，整流侧作定电流或定功率控制，并由逆变侧作定熄弧角δd或定电压控制。在本系统中整流侧采用定电流控制，逆变侧采用定熄弧角控制，系统的状态方程为

相应的交直流接口方程（均以标幺值表示）为

将式（2）与式（3）相结合，可以最终得系统模型为

此时系统的状态变量x＝ ［δm，ω，δ，U，Id，α］，分别代表发电机功角、转速、负荷节点电压相角、负荷节点电压幅值、直流电流、整流器触发角等。λ为分岔参数。发电机与交流系统部分的参数见文献［2］，直流部分参数如下：Ld＝0.75p.u.；Rd＝0.01p.u.；X′C＝ X″C＝0.1p.u.；Td＝0.05s；Kd＝1.0；Idref＝ 1.0p.u.；n′ ＝ 1.0p.u.；n″ ＝1.0p.u.；γ＝18°。

分析工具采用非线性分析软件AUTO2000，该工具的算法为延拓法，在计算分岔点时也采用直接法。

2 系统负荷与电源的非线性分岔特性分析

2.1 系统负荷的非线性分岔分析

取Pm＝2.0p.u.、Idref＝1.0p.u.，保持其他参数不变，以Q1为分岔参数进行单参数分岔分析，见图2。图中纵坐标为负荷点电压。从图2中可以看到系统的平衡点曲线经历了3个分岔点：HB1、HB2和SNB3。HB1之前是稳定，HB1之后是不稳定的，HB2和SNB3之间有短暂的稳定，SNB3之后是不稳定的。HB1是亚临界Hopf分岔，HB2是超临界Hopf分岔。图3是图2的局部放大，追踪HB2得到的极限环曲线在PDB4处失去稳定，之后PDB5和CFB6之间是稳定的，CFB7和PDB8之间是稳定的，极限环曲线把HB1和HB2连接起来，并在其间振荡。HB1是亚临界Hopf分岔，所以其周期解是不稳定的，HB2是超临界Hopf分岔，所以其周期解是稳定的。分岔点的数值如表1所示。

图2 分岔参数为Q1时交直流输电系统的分岔曲线Fig.2 Bifurcation curve of AC／DC system withλ＝Q1

保持Pm＝20p.u.、Idref＝1.0p.u.，其他参数恒定不变。以P1和Q1为参数，进行双参数分岔分析。计算得到的上述二维参数鞍结点和Hopf分岔边界如图4所示。其中，实线为Hopf分岔，虚线为鞍结点分岔。图中坐标轴左下角为系统小扰动稳定域，其边界由横纵坐标和鞍结点分岔曲线构成，在该区域内存在一个Hopf分岔区域，由一个转折的小弧线构成。由局部分岔理论可知，系统在发生鞍结点分岔之后将发生崩溃；Hopf分岔分岔和系统的振荡现象相关联。在本例中若运行在Hopf分岔区域，则系统将出现周期振荡现象。从图中可以看到，当P1从0变化时，系统在一定范围（P1∶0～1.04p.u.∶Q1∶10.88～11.42p.u.）会经历2个Hopf分岔，然后才遇到鞍结点分岔，这与之前的单参数分岔分析是一致的。随着P1的增加，系统的2个Hopf分岔点慢慢接近到重合。如果有功负荷进一步增加，系统不会出现Hopf分岔点。

图3 分岔参数为Q1时交直流输电系统极限环曲线的局部放大图Fig.3 Local enlarged bifurcation plot of of AC／DC system withλ＝Q1

图4 参数为Q1和P1的双参数分岔边界图Fig.4 Bifurcation boundary diagram with Q1 and P1as bifurcation parameters

表1 含直流线路分岔参数为Q1时分岔点数值Tab.1 Bifurcation point values of AC／DC system withλ＝Q1

2.2 电源点原动机功率的非线性分岔分析

为了考察原动机功率Pm对系统电压稳定的影响，图5从左到右分别给出了Pm取2.0p.u.、1.9p.u.、1.8p.u.时负荷节点电压 随负荷端无功Q1变化而发生的分岔情况。图中的实线和虚线分别表示系统处于稳定和不稳定平衡点，每条曲线从左到右依次发生 HB1、HB2、SNB3，从图中可以看到原动机输出功率Pm对系统电压稳定影响显著，考虑到系统运行中负荷对电压稳定的影响，为了更加深入全面了解原动机功率变化时系统的电压稳定性，在此以Pm与Q1为分岔参数进行双参数分岔分析。

图5 不同Pm下的分岔曲线Fig.5 Bifurcation curves with different Pm

保持P1＝0p.u.、Idref＝1.0p.u.，其他参数恒定不变。双参数分岔边界如图6所示。图中由鞍结点分岔曲线和坐标轴围成的区域是系统可能运行的状态。从图中可以看到，在Pm取值较低（0～1.72p.u.）时，系统只发生鞍结点分岔，即单调失稳，随着Pm的取值增加，鞍结点分岔对应Q1值略有增加，这说明在Pm取值相对较小的时候，增加Pm可以提高系统无功功率传输极限。随着Pm进一步的增加，系统因为发生Hopf分岔而振荡失稳。随着Pm数值的增加，Hopf分岔点的数目由1个变为2个 （Pm∶1.68～4.05p.u.），之后又变为1个（Pm∶＞4.05p.u.）。图2和图3所示为当Pm＝2.0p.u.时的分岔曲线，从图3可以看出，图中2个Hopf分岔和1个鞍结点分岔与图6双参数分岔边界图相一致（对应的Q1一致）。随着Pm的增加，系统发生的Hopf分岔时的Q1不断减小，这说明当系统已经接近稳定极限的情况下，增加Pm只能使系统无功功率传输极限降低，使系统失稳。这也是双参数分岔能够更加精确分析系统分岔的优点。

图6 参数为Q1和Pm的双参数分岔边界图Fig.6 Bifurcation boundary diagram with Q1 and Pmas bifurcation parameters

3 HVDC控制系统对电压稳定性的影响

3.1 直流电流参考值Idref对电压稳定的影响

为了考察直流电流参考值Idref对系统电压稳定的影响，图7从左到右分别给出了Idref取0.9p.u.、1.0p.u.、1.1p.u.时负荷节点电压U 随负荷端无功Q1变化而发生的分岔情况。图中的实线和虚线分别表示系统处于稳定和不稳定平衡点，每条曲线从左到右依次发生 HB1、HB2、SNB3，从图中可以看到直流电流参考值Idref对系统电压稳定影响显著，为了清楚地了解Idref对电压稳定的影响，进行双参数分岔分析。

图7 不同Idref下的分岔曲线Fig.7 Bifurcation curves with different Idref

保持P1＝0.0p.u.、Pm＝2.0p.u.，其他参数恒定不变。以Ldref和Q1为参数，进行双参数分岔分析。双参数分岔边界如图8所示。从图中可以看到，当Idref取值较小时，系统遇到2个Hopf分岔点和1个鞍结点分岔，系统因为先发生Hopf分岔而振荡失稳。随着Idref的增加，第一个Hopf分岔点的数值不断增大，说明系统的无功功率传输极限变大。随着Idref的继续增大，Hopf分岔点的数目由2个变为1个之后变为0个，此时系统因为发生鞍结点分岔而失稳。Idref的大小和直流线路上传输的功率有密切的关系；Idref小则直流线路上传输的功率小，相对的交流线路上传输的功率大；Idref大则直流线路上传输的功率大，而交流线路上传输的功率大。从上面分析可以看出，直流线路上传输的功率占的比重越大越有利于系统的稳定。

图8 参数为Q1和Idref的双参数分岔边界图Fig.8 Bifurcation boundary diagram with Q1 and Idrefas bifurcation parameters

3.2 HVDC控制系统增益对电压稳定性的影响

为了考察直流电流增益Kd对系统电压稳定的影响，图9从左到右分别给出了Kd取1.5、1.0、0.5时负荷节点电压U随负荷端无功Q1变化而发生的分岔情况。图中的实线和虚线分别表示系统处于稳定和不稳定平衡点，每条曲线从左到右依次发生HB1、HB2、SNB3，从图中可以看到直流电流增益Kd对系统电压稳定影响显著，为了清楚了解Kd对电压稳定的影响，进行双参数分岔分析。

图9 不同Kd下的分岔曲线Fig.9 Bifurcation curves with different Kd

保持P1＝0p.u.、Pm＝2.0p.u.、Idref＝1.0p.u.，其他参数恒定不变。以Kd和Q1为参数进行双参数分岔分析。双参数分岔边界如图10所示。从图中可以看出，当Kd取值较小时，系统只发生鞍结点分岔，随着Kd的不断增加，系统发生Hopf分岔，并且Hopf分岔点的数值不断减小，说明随着Kd的增加系统容易失去稳定，实际设计中应仔细调节Kd，防止Kd过大失去稳定性。

3.3 HVDC不同控制方式对电压稳定性的影响

以上研究当中HVDC系统都是整流侧均采用定电流控制方式，实际HVDC系统广泛采用定功率控制，在本节，通过对定功率控制下的AC／DC系统进行分岔分析，对HVDC不同控制方式对电压稳定的影响进行分析，由于定功率控制本身也是通过定电流控制实现，分析中定功率控制传递函数、控制参数选取与定电流控制参数相同，定功率控制基本结构见文献［13］。

图10 参数为Q1和Kd的双参数分岔边界图Fig.10 Bifurcation boundary diagram with Q1and Kdas bifurcation parameters

从图11和图12可以看出，相比定电流控制，当HVDC采用功率控制时其负荷稳定极限有了明显增大，因此HVDC采用定功率控制时系统稳定性得到了改善，其稳定裕度有明显提高。

图11 不同控制方式下的P－U曲线Fig.11 P－Ucurves with different HVDC control modes

图12 不同控制方式下的Q－U曲线Fig.12 Q－Ucurves with different HVDC control modes

4 结语

本文对一个交直流并联电力系统，以负荷端有功功率、无功功率，原动机功率、HVDC控制参数得等作为分岔参数，进行了单参数和双参数分岔分析。研究表明，整个交直流并联输电系统将经历1个亚临界Hopf分岔，1个超临界Hopf分岔和1个鞍结点分岔，并在此基础上出现更为复杂的分岔现象，直流输电系统的控制方式、控制方式及传输功率对系统电压稳定性有显著影响。

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