深化、变化、串化、优化——新课程背景下高三例题教学有效性的探讨

☉广东省信宜市信宜中学 吴程北

例题作为教学内容的重要组成部分，成为了数学核心概念、教学重点等知识和能力培养的主要载体，其作用不言而喻：有助于学生巩固、深化新学数学知识，领悟和掌握隐含于其中的重要数学思想方法，训练良好的思维品质，培养学生的能力，发展学生的智力.但很多教师对例题处理往往过于简单，有时甚至一笔带过，特别是在原教学方法惯性思维的牵引下，存在着机械传授、例题解决表面化、教师讲授与学生脱节等问题，听到的经常是“我这类例题讲了n遍，学生还是不会”.所以在高三这个关键时刻，教师如何从茫茫“题海”中精选并提炼出具有思维价值的典型问题，是摆在每一位高三教师面前迫切需要解决的课题.本人根据自己的教学实践总结出“四化”，即将例题深化、变化、串化、优化.

一、将教材的例题和习题“深化”，巩固“双基”

教材是学生学习最重要的文本资源，是高考试题最重要的素材来源，历年高考题很多直接由教材的例题、习题改编而成.无论任何资料都不可能覆盖所有考点，只有教材才能覆盖所有考点.同时课本中的例题和习题具有示范性、典型性和导向性，是课本的精髓.如果我们在复习中能恰当对教材中的一些例题和练习题加以利用，发掘其潜在价值并进行拓展，往往能起到意想不到的效果.但面对琳琅满目的训练题和各种各样的测试题目，教师往往忽略了课本中的例题和习题，严重出现了“本末倒置”的现象，导致考试时很多试题虽然是来自于课本，但还是让很多考生倍感困惑，成为解题中的障碍和失分点.针对这些情况，本人提出在例题教学中要将教材的例题和习题“深化”.

案例1 （人教A版教材必修1习题1.3A组第6题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），画出函数f（x）的图像，并求出函数的解析式.

A.（-∞，-1）∪（2，+∞）B.（-1，2）

C.（-∞，-2）∪（1，+∞）D.（-2，1）

分析：本题往往采取分段函数分段处理的方法，或者画出函数的图像，利用函数的单调性处理，前者需要比较多的运算，后者需要时间去作图分析.如果能从整体上看这个函数的表达式，你就会发现不正是上述的奇函，数吗？并且在区间［0，+∞］上单调递增，因而函数f（x）在R上单调递增.所以由f（2-a2）>f（a）及函数的单调性的定义，得2-a2>a，解得-2

A.f（x1）+f（x2）<0B.f（x1）+f（x2）>0

C.f（x1）-f（x2）<0D.f（x1）-f（x2）>0

分析：先观察函数的解析式，不难发现函数是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递增，并且与y轴交于点（0，-1），由函数为偶函数，得（函数在（0，+∞）上单调递增），则f（x1）

由以上案例可见，教师应这样“加工”课本的例习题：①可以引导学生有意识的回归课本，重温课本中的基本概念、基本题型和基本方法；②可以有意识地培养学生用熟悉的方法解决新（陌生）的问题，即化归的思想方法；③培养学生的创新思维能力和发散思维；④进行相关的类题训练可以减轻学生的负担，提高复习效率，起到温故而知新的目的.

二、将例题“变化”，培养学生思维的广阔性

将例题“变化”，即变式，就是不断变换问题呈现的方式，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征保持不变.通过开展变式教学，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律.所以要发挥例题教学以点带面的功能，就要对例题进行“变化”，挖掘问题的内涵和外延，提高思维的深度和广阔性，培养学生随问题变化而变化的应变能力，达到“讲一题，学一法，会一类，通一片”.

案例2已知函数f（x）=x2－2x+2，求其在区间［0，2］上的最值.

在教学中我对案例2进行了下面的一些题组变化.

变式1（把对称轴放在区间外）求函数f（x）=x2－2x+2在区间［0，2］上的最值；

变式2（将定区间变为动区间）求函数f（x）=x2－2x+2在区间［t，t+2］上的最值；

变式3（将定对称轴变为动对称轴）求函数f（x）=x2－2mx+2在区间［0，2］上的最值；

深化（一般情况）求函数f（x）=ax2+bx+c在区间［m，n］上的最值.

三、将例题“串化”，培养学生的化归能力

将例题“串化”，也就是在教学过程式中，教师要有意识地将“形异质同”、“形同质异”的题目，将其串珠成线在一起，根据学生的不同认知水平，通过“形异质同”、“形同质异”的例题和习题训练，让学生从“异”中发现“同”的现象，从“同”中发现“异”的本质，这样既为训练思维、深化认识、优化认知提供契机，又培养学生解题能力和抽象概括能力，使他们对有关的概念、知识、思想方法及其内在联系有了更深刻的理解.

1.“形异质同”型.

串2：直线y=kx+2与双曲线x2－3y2=3恒有两个不同的交点A、B且∠AOB为直角（O为坐标原点），求实数k的取值范围.

把串2中的“∠AOB为直角”改为“∠AOB为锐角”或“∠AOB为钝角”，其他条件不变都可以.

不难发现题目从表面上看是不同的问题，但本质不变，都是联立直线和圆锥曲线的方程，再用韦达定理求解.课堂上教师经常进行这种“形异质同”习题的训练，呈现其通性通法，可以避免搞题海战术，有效减轻学生的复习负担，让学生在复习中既可见“树木”又见“森林”.

2.“形同质异”型.

案例4（1）设函数f（x）=lg（ax2－x+a）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）设函数f（x）=lg（ax2－x+a）的值域为R，求实数a的取值范围.

这些问题看似相同，实则不同，容易混淆.因此教师在复习时要善于引导学生将习题归类，善于对比思考，推敲它们之间的区别和联系，集中精力解决同类问题中的本质问题，总结出解这一类问题的方法和规律.

四、将例题解法“优化”，培养学生思维的灵活性

对于一道数学题，由于审视的角度不同，而得到不同的解题方法.在例题教学中，教师若能抓住一切有利时机，经常有意识地启发、引导学生在所学的知识范围内，尽可能地提出不同的新构想，追求更好、更简、更美、更优的解法，这不仅仅有利于基础知识的纵横联系和沟通，而且也有利于培养学生的发散思维能力和创新能力，有利于培养学生的信息收集和整理能力、发展问题和思考问题的能力、分析和解决问题的能力.因此例题教学应逐层递进，层层优化，引导学生在探索和发现问题的过程中去繁就简，优化思路，为学生主动构建知识体系、实现认知结构的整体优化建立桥梁.

案例5 从圆（x-1）2+y2=1外一点P（2，3）向该圆引切线PA、PB，切点为A、B，求直线AB的方程.

教学中发现学生容易从直观入手分析，即由切线求切点.由圆心（1，0）到切线的距离等于半径，求得切线方程为x=2和4x－3y+1=0，从而得到切点即得直线AB的方程为x+3y－2=0.此法符合学生的思维特点，易被学生掌握，但运算量较大，如何优化使求切线方程更简洁呢？

优化1：由两圆相交求切点.

设已知圆的圆心为C，根据平面几何性质：切点是以PC为直径的圆与圆C的交点，以PC为直径的圆的方程为（x－2）（x－1）+y（y－3）=0，与圆C的方程（x-1）2+y2=1联立，得切点B（2，0），从而得直线AB的方程x+3y－2=0.运用平面几何性质，减少运算量，简化了解题过程.值得思考的是：要求过切点的直线方程，是否一定要求出切点的坐标？解题理念的突破，为学生优化解题提供了动机.

优化2：巧用设而不求法.

设切点坐标为（x，y），在优化1中，将两圆的方程相减，得x+3y－2=0（*）.由于两个切点坐标满足这两个圆的方程，所以也满足（*），而方程（*）是关于x、y的一次方程，这说明方程（*）即为过切点A、B的直线方程.这种简明的推理过程，无疑会激发学生的学习乐趣，促进他们挖掘新的思维通道.

优化3：逆向思维.

变换视角，将点P看做两切线的交点.设切点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则切线PA的方程为（x－1）（x1－1）+yy1=1.PA过点P（2，3），将点P的坐标代入，化简得x1+3y1－2=0.同理可得x2+3y2－2=0.由这两个方程知切点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标都满足方程x+3y－2=0.故此方程即为过点A、B的直线方程.

这三种解法分别从不同角度出发，沟通了知识的纵向、横向联系，通过分析、联想，使学生思维产生质的飞跃，获得崭新而巧妙的最优解法，这样训练有利于学生的解题，优化了思维品质.在整个过程中把握数学的灵魂——思想方法和知识的精髓，通过学生探索知识的形成过程，让学生参与到发现或解决数学问题的情境中，探索解决问题的最佳思路，可以很好地吸引学生从多角度观察、思考、联想、概括并获得多种解题路径，从而不断掀起学生的思维浪花，使他们既开阔了视野，又增添了兴趣，体验数学学习中发现的艰辛和成功的喜悦，也感受到数学的美妙与情趣.同时，在师生的共同探索中去繁就简，优化思路，培养了思维的灵活性和深刻性，有效地培养学生的探究能力.

总之，例题教学的有效性提高是一个值得我们不断总结、不断完善的课题，本文总结出来的例题教学“四化”，是自己在教学中不断实践总结出来的，还有一些地方需要完善、推敲.