离散信号空间上的最小能量框架在升余弦脉冲信号上的去噪算法

谢映海，杨维，樊婷婷

(1.北京交通大学 轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京 100044；2.东南大学 移动通信国家重点实验室，江苏 南京 210096)

1 引言

小波分析[1～4]在数学理论和实际应用中都有着十分重要的意义，特别是在信号处理领域上有着广泛的应用[5～10]。而在正交小波基础上CHUI C K等[4]提出了最小能量（小波）框架的概念并研究了其性质，它既可以利用小波理论对信号进行时频分析和处理，又克服了正交小波不能同时具备光滑性、紧支性、和对称性的缺点，在信号处理领域上有着良好的应用前景。

虽然从信息论角度出发，对连续信号进行离散化处理不可能取得比直接处理更好的结果。但随着相关技术的不断发展，数字信号处理技术渐渐在稳定性，可程控性，集成规模等方面都比模拟信号处理有着较大优势，因此连续信号的离散化处理是信号处理领域中的一个总趋势。

目前关于小波理论的研究大部分集中在连续信号空间上，为了把相关理论扩展至离散信号处理领域，谢映海等[11]在连续信号空间的最小能量框架基础上，首次给出离散信号空间上的最小能量框架的定义，并证明了它所具备的一些和连续信号空间上的最小能量框架相类似的优良性质；该文献还针对数字通信系统中用来携带数字信息的矩形脉冲信号展开了去噪算法的研究，并获得了较好的处理效果。

与矩形脉冲信号相比，升余弦脉冲信号的功率密度谱虽然具有较宽的主瓣，但拖尾衰减速度要快很多，在应用中具有更高的实用价值。因此本文将在文献[11]的基础上，利用离散信号空间上的最小能量框架进一步对这种类型的信号展开去噪算法的研究。对于所挑选的2组不同的最小能量框架，详细地分析了抽样离散化后的升余弦脉冲信号数列和加性高斯噪声数列在这2组框架的各个子数列下的分解系数的各自统计特征，并根据它们呈现出来的明显差异和阈值去噪算法的思想[12,13]，分别给出了其对应的去噪算法。

比起传统的直接对连续信号波形进行处理的D4单小波阈值去噪算法[12]，这2个去噪算法的本质都是连续接收信号的离散抽样信号进行分解，然后对分解子数列进行一定的去噪处理后再重构信号。使用具有一定冗余性的最小能量框架数列变换算法可以减少误差，提高重构精度，同时算法更有利于分离接收信号中的原始信号成分和噪声成分，从而获得比传统的不具冗余性的正交小波变换算法更好的去噪效果。由于充分利用了接收信号的先验信息，本文提出的对接收信号的抽样离散序列进行去噪处理可以有效提高接收信号的输出信噪比。而系统如果在接收机上增加了这样的一个信号去噪的预处理环节，可以大幅度降低噪声影响，减少解调的误码率，获得较大的性能增益。理论分析和仿真结果表明，当调制方式为BPSK且升余弦脉冲信号受加性高斯白噪声的影响时，2个去噪算法在误码率上可以分别获得约3.1dB和2.7dB左右的性能增益。

2 离散信号空间上的最小能量框架的基础知识

本节主要介绍一下框架和文献[11]给出的离散信号空间上的最小能量框架的一些基本性质。

定义1 设{xj:j∈J}是希尔伯特空间H上的一组元素，如果对于任意的元素f∈H，存在正数λ1和λ2，有

则称{xj:j∈J}是H上的一个框架，λ1，λ2分别称为框架的下、上框架界。而如果λ1=λ2=1，则称框架是一个Parseval框架。而对于一个Parseval框架，有下列通用的分解和重构公式：

定义2 设数列p[k]∈ℓ2是一个数字低通滤波器的单位抽样响应，如果一数列组i=1,2,…,N对所有的整数j和l满足下列条件：

最小能量框架不但可以使用Parseval框架的分解和重构公式，而且也可以使用小波理论中特有的塔式分解和重构算法，这为它们在离散信号上的广泛应用奠定了坚实的基础。

其重构算法如下：

及满足分解前后的能量不变性等式：

注：由于可以利用分解公式对数列进行逐层分解，因此数列[1,]jkc+的下标第一个表示层数，第二个表示整数轴。

比起其他Parseval框架，离散信号空间上的最小能量框架的一个优点就在于它可以使用塔式分解和重构算法。从时域上看，塔式分解公式时可以看作是对离散信号在不同尺度下进行逐层分解，通过分析各层的分解子信号的性质来研究信号本身整体和局部的一些特征；从频域上看，由于存在明确的重构公式，最小能量框架可以看作是一个可准确重建，由1N+个单位抽样响应分别为[]kp和:i=1,2,…,N 的数字滤波器组成的滤波器组，可从多个不同频带上对信号频谱信息进行分析处理。

3 离散信号空间上的最小能量框架在升余弦脉冲信号上的去噪应用

在数字通信领域，脉冲宽度为T的矩形脉冲信号g1( t)=A(0≤t≤T )和升余弦脉冲信号是发射机比较常用的2种用来携带数字信息的基本信号类型。在频谱方面，升余弦脉冲信号的谱函数虽然要比矩形脉冲信号的谱函数具有更宽的的主瓣，但拖尾的衰减速度无疑要快很多，因此具有更高的实用价值。

任何形式的信号在传输过程中不可避免的都会受到各种噪声的污染，因此信号去噪一直是信号处理领域中的一个研究热点。对采用升余弦脉冲的BPSK基带信号s(t)而言，如果传输信道为加性高斯白噪声信道，不失一般性，发送功率归一化后接收信号r(t)可以表示为

其中，±分别代表数字信息0和1，u(t)是功率密度谱为2δ的高斯白噪声的样本函数。而检测器将根据输出向量的正负性来判决接收信号上的所携带的数字信息。

从频带角度上看，虽然接收信号受到了加性高斯白噪声的污染，其在整个频率范围内都具有平坦的功率密度谱，但假定接收端的信号和噪声通过了一个理想的，带宽足够大的带通滤波器，使得接收信号是一个带限随机信号。因此接收信号可以用一个非唯一，抽样速率不低于其奈奎斯特速率的数字序列r[n]=s[n]+u[n]来表示。利用式（4）对r[n]进行分解，有

对于式(8)，从频域上看，各个子数列代表着接收信号数列通过不同滤波器后的滤波结果，因此滤波器如果具有线性相位，即框架实系数p[k]和(i=1,2,…,N)是中心对称的或反对称的，重构过程就可以避免失真；而从时域上看，各个子数列代表着了对接收信号的局部信号数列进行不同线性加权的结果。不同于一个波形周期内矩形脉冲信号的恒幅度，升余弦脉冲信号的幅度是不断变化的，因此如果系数p[k]和的长度较长，将使得加权过程所涉及到局部信号数过多，信号之间的相关性下降，导致分解效果降低，同时也大大提高了分解和重构算法的计算复杂度。出于这种考虑，本文从众多已经构造出来的最小能量框架中选用了下列2组[4]：

注：数列上的黑点表示零点位置。

应用离散信号空间上最小能量框架进行去噪的理论基础就是先分析发送信号数列s[n]和噪声数列u[n]在框架的各个子数列下的分解系数的不同统计特征，再根据这些特征的差异性制定一个具体算法来对其接收信号的分解系数进行修正后重构信号，从而去除噪声的部分影响，尽量恢复原始信号。下面将基于上述2组最小能量框架分别给出其对应的去噪算法。

3.1 基于式(9)的阈值去噪算法Ⅰ

接着产生一个长度为100，均值为0，方差为1高斯噪声序列u[n]，同样对其进行分解，也产生了3个点数为50的子数列，即和，具体情况如图2所示。

比较图1和图2，可以清楚看出对s[n]而言，其子数列 c[n]基本反映s[n]的基本细节部分，承载了信号的大部分信息和能量，而d[n]，e[n]则都代表s[n]的高频部分，2个子数列的绝对值大小和数列c[n]相比较，几乎可以忽略不计；对高斯噪声数列u[n]而言，由于其各点之间的不相关性，3个子数列的值仍然都表现出高斯噪声的统计特征，且噪声信号的能量均匀的分布在3个子数列上。而且在这组框架下，其他均值为 0，任意方差的高斯噪声序列的分解子数列也均表现出了这种统计特性。

图1 升余弦脉冲信号抽样数列在式(9)下的分解

图2 高斯白噪声抽样数列在式(9)下的分解

基于图1和图2的结果，在制定去噪算法时需要针对不同的子数列采用了不同的策略，以尽量保持原始信号成分和最大化地去除噪声影响，达到最佳的去噪效果。对于加性高斯白噪声，有如下的硬阈值函数[12,13]：

其中，ε是阈值，x是分解系数。

根据上述分析，在数字通信系统的接收机端增加了一个信号去噪的预处理环节，在解调器对受加性高斯白噪声污染的二进制升余弦脉冲信号进行解调之前进行信号去噪的预处理工作，其相关过程具体描述如下。

1) 原始设定：脉冲宽度为Tss，归一化后发射功率恒定为1，且升余弦脉冲波形在信道传输过程中受到均值为0，方差为2δ的加性高斯白噪声的影响。两端同步后接收机对每个接收波形r(t), NTs≤t≤(N+1)Ts, N=0,1,…进行抽样间隔为Ts/100的等距抽样且得到离散信号数列r[n]。

2) 信号预处理环节：

① 分解：

其中，p[k],,数值如式（9）所示。

② 去噪：对分解系数数列d[n]、e[n]、dc[n]和ec[n]而言，设定其阈值大小依次为εd=2.6× 10-2、εe=5.7× 10-4、εdc=1.8× 10-2和εec=4.0× 10-4。采用式（11）的硬阈值函数，即凡是绝对值小于这个阈值的点全部置零，依次得到4个新数列、、和。

③ 重构：利用重构式(6)对数列cc[n]、和进行重构得到一个新数列，再利用重构公式对数列、和进行重构得到去噪后的新信号，根据抽样定理的重构公式，使用序列进行重构且得到信号波形( t)。

3.2 基于式(10)的阈值去噪算法Ⅱ

图3 升余弦脉冲信号抽样数列在式(10)下的分解

接着产生一个长度为100，均值为0，方差为1高斯噪声序列[n]，同样对其进行分解，也产生了4个点数为50的子数列，即、和，具体情况如图4所示。

图4 高斯白噪声抽样数列在式(10)下的分解

根据上述分析，同样增加信号去噪的预处理环节，过程具体描述如下：

2) 信号预处理环节：

①分解：

③ 重构：利用重构式(5)对处理后数列进行逐层重构，最终得到去噪后的新信号，根据抽样定理的重构公式，使用序列进行重构且得到信号波形(t)。

最后解释一下阈值及分解层数的设定问题：分析文献[11]给出的关于矩形脉冲信号和高斯噪声的分解效果图可知，由于矩形脉冲的幅度恒定，因此在分解时其原始信号能量将绝大部分集中于第一个分解子数列中，因此阈值仅仅设定了一个；而升余弦信号由于幅度是变化的，因此原始信号能量的分布相对分散一些，因此需要针对不同子数列设定不同阈值。本文把阈值都设定在分解后各自子数列的最大绝对值上，这样就可以在不损害原始信号成分的前提下尽量去除噪声成分。而部分数列因为绝对值太小，为降低去噪算法的复杂度，因此在基本不影响效果的情况下就把它们直接置零处理；而在分解层数的选择上，我们注意到，原始信号成分和噪声成分得以分离的一个原因是由于信号数列值之间的局部较强相关性和噪声数列值之间的不相关性，但随着分解的进行，这两者都会受到一定的破坏。相关研究表明，当分解层数大于2后，就基本上再难以分离原始信号成分与噪声成分，因此这里把分解层数设定为2。

4 仿真结果

上节给出的2个去噪算法都充分利用了信号的先验信息，分析了原始信号和噪声的分解子序列的各自统计特性，去噪时通过使用合适的阈值和直接归零的方法，最大化去除噪声对信号影响。以式（9）的去噪算法为例，图5给出了其处理信号过程。

图5 式(9)的去噪预处理环节

这里通过计算机仿真来验证这套算法的具体去噪效果，设发射机采用BPSK调制方式且采用脉冲宽度为1单位时间，发射功率为1的升余弦脉冲信号，信号s(t)在传输过程中受功率密度谱为2δ的高斯白噪声的污染。

信号s(t)一共包含了610个脉冲信号，两端同步后接收机对接收波形 r(t)进行抽样间隔为0.01的等距抽样且得到离散信号数列 r[n]。利用上节给出的 2个去噪算法逐个对接收信号的每100个点的抽样数列进行去噪，处理后分别得到新信号r1[n]和r2[n]，把这 2个离散信号分别进行数模转换，最终得到了预处理后的模拟信号r1(t) 和r2(t) 。为更好地评价效果，这里也利用直接对连续信号波形进行处理的 D4单小波阈值去噪算法对接收波形 r(t)进行去噪处理，得到了信号r3(t)。假定接收信号的去噪过程都是在一个叫“去噪器”的黑箱子中完成的，则其输入信号的信噪比和使用不同去噪算法去噪后的3个输出信号的信噪比之间的关系曲线如图 6所示。

图6 不同去噪算法的去噪效果

离散空间上的最小能量框架在对接收信号的抽样数列进行分解时，去噪算法可以把把被污染的信号分解到多个子带上，在充分利用先验信息的情况，可以有效分离和去除噪声成分，因此利用式(9)和式(10)的最小能量框架都可以取得较好的去噪效果，且其效果明显优于传统的D4小波去噪算法。观察图6的结果，可以清楚看出对于受到加性高斯白噪声影响的二进制升余弦脉冲信号，去噪后部分噪声能量从接收信号中被去除，从而使得处理后的信号的信噪比获得提升。不管噪声功率密度谱的大小，D4小波去噪算法可以获得 1.8dB左右的信噪比指标提升，基于式(11)的去噪算法的提升幅度为2.7dB左右，而基于式(10)的去噪算法的性能更好一些，提升幅度为3.1dB左右。究其原因，D4小波去噪时把信号分解成2个子数列时，原始信号成分和噪声成分的分离程度明显劣于后面两者，因此去噪效果要差一些。而观察图1～图4可以看出，式(9)分解时原始抽样信号的能量绝大部分都集中在第 1个子数列上，而式(10)分解时原始信号的能量虽然大部分集中在第1个子数列，但第3和第 4个子数列上也占据了一定的份额，在噪声能量在2个框架上分解时都是均匀分布的情况下，显然式(9)的阈值去噪效果会比式(10)要好一些。

由此可见，如果接收机增加了一个简单的预处理环节，在发射功率没有提高的情况下，进入解调检测环节的信号的信噪比可以大幅度提高，有效降低了信息传输的误码率，从而提高通信系统的整体性能。

5 结束语

本文利用了2个不同的离散信号空间上最小能量框架对升余弦脉冲信号展开去噪算法的研究。结果表明，如果利用本文所提供的2个去噪算法，在接收机端增加一个简单的去噪预处理环节，则可以改善数字通信系统的性能，获得了较大的性能增益。这些工作和仿真结果表明离散信号空间上的最小能量框架在信号去噪领域上具备很好的应用前景，值得做进一步深入研究。

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