梯形渠道恒定渐变流水面线计算的新解析法

黄朝煊

（浙江省水利水电勘测设计院，杭州 310002）

梯形渠道恒定渐变流水面线计算的新解析法

黄朝煊

（浙江省水利水电勘测设计院，杭州 310002）

对棱柱体明渠梯形断面下的恒定非均匀流沿程水面线进行深入研究，基于恒定渐变流基本微分方程，通过对该微分方程无量纲化，采用数值分析理论，得到由简单双曲函数组成的新等效恒定渐变流基本微分方程；通过变量分离，直接积分得到流程S与始、末段水深h1，h2的解析函数；通过该解析函数可直接计算出沿程水面线。该方法比《溢洪道设计规范》中推荐的分段求和试算法更简单、便捷，特别对水深较敏感段，规范推荐试算法误差较大，并且逐段试算推求水深将导致末端断面水深误差逐步累积，导致误差增大，精度下降。最后通过工程实例计算比较得出：新解析法计算成果与规范推荐法（程序）计算成果基本一致，对于渠长较长时新解析法成果甚至优于规范推荐的分段试算法，完全满足工程实践要求。

恒定渐变流基本微分方程；相对水深；数值拟合

梯形断面是溢洪道及河道中最常见的断面型式，由于其水面线计算较复杂，需借助计算机进行迭代试算求解，到目前作者暂未见有解析法求解。基于恒定渐变流基本微分方程，可用分段求和差分试算法［1－2］，张建民［3－4］提出了收敛迭代法，国内外学者还提出龙格－库塔、牛顿迭代法等多种方法求解。但以上方法均是基于分段分别计算各段水深的方法，这将导致各段水深成果误差会逐步积累，越到末端，水深误差就越大。并且以上计算方法均需借助计算机编程求解，工作量大，也不便于手算。鉴于此，本文以恒定渐变流基本微分方程为基础，采用数值分析方法，得到了流程S与始、末段水深h0，h1的解析函数，通过此解析函数可直接计算出沿程水面线。

1 梯形断面恒定渐变流基本微分方程

1.1 恒定渐变流基本微分方程

文献［1］中给出了棱柱体明渠恒定渐变流基本微分方程为

对于梯形断面：

其中：b为梯形渠道底宽（m）；h为渠道水深（m）；m＝（m左＋m右）／2为渠道两岸平均坡比；B为渠道水面宽（m）；A为过水断面面积（m2）；R为过水断面水力半径（m）；J为断面水力坡降；i0为渠道坡降；n为渠道糙率；Q为渠道流量（m3／s）；v为断面平均流速（m／s）；Fr为断面弗氏数。

引入相对水深无量纲量：¯h＝h／b，将梯形断面水力参数关系公式（2）代入微分方程（1）得

其中：

1.2 无纲量积分函数的数值拟合分析

无纲量积分函数f（¯h），g（¯h），是相对水深¯h＝h／b和渠道边坡m之间的函数，分别取m＝0，0.5，1.0，2.0，分析函数f（¯h），g（¯h）的变化关系，见图1、图2。

图1 无量纲函数f（¯h），g（¯h）与相对水深¯h＝h／b（¯h＜0.2）及坡比之间的关系图Fig.1 Relationship between the dimensionless function（f（¯h），g（¯h））and relative water depth（¯h＜0.2）under different slope ratios

图2 无量纲函数f（¯h），g（¯h）与相对水深¯h＝h／b（0.2＜¯h＜1.0）及坡比之间的关系图Fig.2 Relationship between the dimensionless function（f（¯h），g（¯h））and relative water depth（0.2＜¯h＜1.0）under different slope ratios

通过数值分析，当相对水深在¯h∈（0.06，0.17），¯h∈（0.17，0.35）区段时，可分别采用双曲函数分段拟合以上无量纲函数f（¯h），g（¯h），其拟合误差小于5%，相关系数大于0.97，拟合函数见公式（5），平均边坡m＝0，0.5，1.0，2.0时的相应拟合参数见表1。

为了简化，记函数：

其中记号参数f1（m），f2（m），f3（m），g1（m），g2（m），g3（m）分别根据表1对应确定，拟合相关系数均大于0.97。

1.3 恒定渐变流水面线变化趋势的判断

为了合理确定水面线推算的起始断面位置、起始断面水深以及水面线推算方向，本文对水面线分区及变化趋势进行了定性分析，以便合理选取下文解析解相关参数。

文献［1］中通过断面的起始水深与正常水深h0、临界水深hk之间的关系，对恒定渐变流水面线的变换趋势进行了定性分析，根据明槽各特征水深的相互关系分为3种情况：

（1）第①区，h＞hk且h＞h0，水面线位于正常水深和临界水深之上，i－J＞0，1－Fr2＞0，d h／d s＞0，该区水面线为壅水线。

（2）第②区，hk＜h＜h0或h0＜h＜hk，水面线位于正常水深和临界水深之间，i－J＜0，1－Fr2＞0或i－J＞0，1－Fr2＜0，d h／d s＜0，该区水面线为降水线。

（3）第③区，h＜hk且h＜h0，水面线位于正常水深和临界水深之下，i－J＜0，1－Fr2＜0，d h／d s＞0，该区水面线为壅水线。

对梯形断面的临界水深hk（Fr＝1，即d h／d s＝＋∞）的计算，至今已有多种方法，王正中在文献［5］中给出了几种基于数值拟合下的直接算法，其精度较高。

式中：b为梯形渠道底宽（m）；hk为渠道临界水深（m）；m＝（m左＋m右）／2为渠道两岸平均坡比；α为流速不均匀系数取1.0；Q为渠道流量（m3／s）。王正中给出的高精度拟合下的相对临界水深求解公式：

表1 无量纲函数双曲拟合成果表Table 1 Hyperbolic fitting results of dimensionless functions

可见临界水深与渠道断面尺寸有关，与纵坡、糙率无关。

对于梯形断面的正常水深h0（即d h／d s＝0）计算，王正中在文献［6］中给出了基于数值拟合和迭代相结合的直接算法公式，本文对其进行适当修正：

式中：¯h0拟合＝AKB0，其中A＝1.8×0.47m0.333，B＝0.72×0.75m0.4。

由上式可知，梯形断面渠道正常水深不仅与渠道断面尺寸、流量有关，还与渠道与纵坡、糙率有关。

图3 梯形明渠相对正常水深与无量纲量K0、临界水深与无量纲量（k／m）的关系曲线Fig.3 Curves of the relative normal depth vs.dimensionless parameter K0，and curves of critical depth vs.dimensionless parameter of trapezoidal open channel

根据起始水深与临界水深、正常水深之间关系可定性判断水面线的变换趋势，更有利于水面线的计算。

1.4 恒定渐变流水面线解析解

将上文分析得到的无量纲函数f（¯h），g（¯h）代入基本微分方程（3）得

变化以上微分方程为简单函数积分形式：

对方程（9）积分得

其中常参数：

最后，得恒定渐变流沿程水面线应满足以下解析函数为

式中：参数S为流程（m）；b为渠道底宽；常数参数a1，a2由公式（9）中常数给出；¯h1＝h1／b，¯h2＝h2／b为相对水深（m）；常数参数ξ，由公式（10）中常数给出；常数参数f3（m），g3（m）由表1中常数给出。参数a1，a2，a3，ξ，与过流流量Q，渠道底宽b，渠道纵坡坡比i0，渠道糙率n，渠道边坡m有关；参数f3（m），g3（m）只与渠道边坡m有关，其直接计算公式如下：

记号参数f1（m），f2（m），f3（m），g1（m），g2（m），g3（m）取值分别根据表1对应确定。

本文提出的恒定渐变流水面线解析求解公式（11）是通过高精度数值分析理论得到的，比分段试算法更直观，也能避免由分段逐推而导致的误差累积效应。

本文提出的解析法无需逐推各段水深就可直接求出末端水深，而《溢洪道设计规范》中推荐的分段求和法需试算推求各段水深才可求出末端水深，过程复杂繁琐。且逐段试算推求水深将导致末端断面水深误差逐步累积，导致误差增大，精度下降。

最后通过工程实例计算比较得出：本文新解析法计算成果与规范推荐法（程序）计算成果基本一致，渠长较长时本文解析法成果甚至优于规范推荐的分段试算法，完全满足工程实践要求。

致谢：感谢浙江省水利水电勘测设计院沈贵华总工对本论文提出的宝贵意见！

2 算例分析

为了验证本文理论，通过算例分析本文基于数值分析理论成果，与文献［1］中分段求和法程序水面线成果进行比较。

算例1：某梯形渠道底宽b＝6 m，边坡系数m＝2，底坡为0.001 6，粗糙率为0.025，流量为10 m3／s，渠道末端水深h2＝1.5 m，渠道长1 000 m，试计算其沿程水面线。

利用公式（10）算得其临界水深为hk＝0.612 m，正常水深采用公式（11）、（12）计算得h0＝0.963 m，由于属于缓坡，采用本文公式（8）反推计算其壅水水面线，相关参数由公式（9）计算，记号参数fi（m），gi（m）根据m＝2，由表1相应取值，通过计算得水面线成果见图4。

图4 算例水面线计算成果图Fig.4 Result of water surface curve for the calculation examp le

3 结 语

本文对棱柱体明渠梯形断面下的恒定非均匀流沿程水面线计算进行了深入研究，基于恒定渐变流基本微分方程，通过采用数值分析方法，得到流程S与始、末段水深h1，h2的解析函数，通过该水面线解析解可直接计算出沿程水面线。该方法比《溢洪道设计规范》中推荐的分段求和试算法更简单、便捷，特别对水深较敏感段，规范推荐试算法误差较大，并

［1］ 武汉大学水利水电学院.水力计算手册［M］.北京：中国水利水电出版社，2006：63－69.（School of Water Resources and Hydropower ofWuhan University.Hydraulic Calculation Manual［M］.Beijing：ChinaWater Power Press，2006：63－69.（in Chinese））

［2］ SL253—2000，溢洪道设计规范［S］.北京：中国水利水电出版社，2000：54－56.（SL253—2000，Design Code for Spillway［S］.Beijing：China Water Power Press，2000：54－56.（in Chinese））

［3］ 张建民，王玉蓉，许唯临，等.恒定渐变流水面线计算的一种迭代方法［J］.水利学报，2005，36（4）：501－504.（ZHANG Jian-min，WANG Yu-rong，XU Wei-lin，etal.New Iteration Method for CalculatingWater Level of Gradually Varied Steady Flow［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2005，36（4）：501－504.（in Chinese））

［4］ 万五一，江春波，李玉柱.变步长法在天然河道水面线计算中的应用［J］.哈尔滨工业大学学报，2007，39（4）：648－650.（WANWu-yi，JIANG Chun-bo，LIYuzhu.Application of Varies Increment Iteration to Simulation of Water-Surface Profile in Natural Channels［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2007，39（4）：648－650.（in Chinese））

［5］ 王正中，袁 驷，武成烈.再论梯形明渠临界水深计算法［J］.水利学报，1999，（4）：14－17.（WANG Zhengzhong，YUAN Si，WU Cheng-lie.A Final Inquiry on a Formula for Calculating Critical Depth of Open Channel with Trapezoidal Cross Section［J］.Journal of Hydraulic Engineering，1999，（4）：14－17.（in Chinese））

［6］ 王正中，席跟战，宋松柏，等.梯形明渠正常水深直接计算公式［J］.长江科学院院报，1998，15（6）：1－4.（WANG Zheng-zhong，XIGen-zhan，SONG Song-bai，et al.A Direct Calculation Formula for Normal Depth in Open Trapezoidal Channel［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，1998，15（6）：1－4.（in Chinese） ）

（编辑：刘运飞）

A New Analytical M ethod of Computing Water Surface Curve of
Constant and Gradually Varied Flow in Trapezoidal Channel

HUANG Chao-xuan
（Zhejiang ProvincialWater Conservancy and Hydropower Survey and Design Institute，Zhejiang 310002，China）

A new method to calculate the water surface curve along constant nonuniform flow in trapezoidal cross section of prismoidal open channel is presented.Through numerical analysis and the dimensionless basic differential equation of constant and gradually varied flow，a new equivalent basic differential equation which comprises the simple hyperbolic function is obtained.By variable separation and direct integral，the analytic functions between the flow path S and water depth h1and h2respectively in the beginning and final part are obtained，through which the water surface profile is computed.Thismethod is simpler and more convenient than the trial-and-error procedure by partition and summation recommended in Spillway Design Standard，Especially for sectionsmore sensitive to water depth，the error of the trial-and-error procedure is bigger owing to the accumulation of errors section by section.Computation example shows that results of this new method is generally consistent with that of the procedure in the Standard，and evenmore superior for long channels.Thismethod meets the requirements of the project practices.

basic differential equation of constant and gradually varied flow；relative water depth；value fitting

TV131

A

1001－5485（2012）11－0046－04

2011－10－23；

2012－01－13

黄朝煊（1983－），男，湖北黄石人，硕士研究生，主要从事水工结构工程研究，（电话）13819483276（电子信箱）516227811＠qq.com。