Anand本构方程在焊点可靠性研究中的应用

王旭艳，徐仁春，刘 刚

(1.南京电子技术研究所，江苏 南京 210039；2.南京汽车集团有限公司，江苏 南京 210061)

0 前言

在微电子工业中，随着手机、笔记本电脑等便携式电子产品的微型化需求，促进了电子元器件也向微型化、高密度方向转化，导致焊点的尺寸也越来越小。焊点既承担着电子器件与基板之间的电气连接，同时也承担着电子器件的机械支撑作用[1]。特别是在电子器件的服役期间，由于材料之间线膨胀系数的差异，容易在焊点内部产生热应力[2]，导致微裂纹的出现，致使电气功能失效，因此焊点的可靠性直接制约电子产品的使用寿命。

在焊点可靠性研究中，有限元模拟技术可以解决很多无法只通过试验解决的问题，例如在焊点服役期间的应力-应变响应等问题。在有限元模拟中，由于焊点的温度较低，在室温下焊点的归一化温度已经超过0.5[3]，说明非线性变形是焊点失效的主要原因。为了描述焊点的非线性变形，诸多研究者选择构建焊点的非线性本构方程，并引入有限元模拟，分析焊点的应力-应变行为。在非线性本构方程中，Anand本构方程是诸多研究者最受青睐的一种本构模型，主要是该模型统一了塑性和蠕变两种非线性变形来描述焊点的非线性行为。

在此综合分析了Anand本构方程在焊点可靠性中的研究和应用，为本构模型的进一步发展和应用提供理论支持。

1 本构方程

Anand 发展了高温(0.5Tm～0.8Tm，Tm为材料的熔点)下金属率相关的本构方程。起初Anand主要用于描述高强度的铝和其他结构金属的热性能。该本构方程最早由Anand提出，随后由Brown进一步完善[4]。为了应用Anand方程模拟电子产品组装件无铅焊点的热-机械响应，必须测定本构关系的材料参数。

该本构模型应用了统一的流动式和演化式来描述焊点的蠕变和相关的塑性变形[5]，Anand本构模型[6]具有两个基本特征：（1）该模型不需要具体的屈服条件和加载/卸载准则；（2）采用形变阻抗s作为单一内变量，表现材料内部状态（位错密度、固溶强化以及晶粒尺寸效应等）对宏观塑性流动的平均阻抗。该粘塑性本构方程可以反应材料的各种特性，如材料的塑形变形、动态回复等。

变形阻抗与等效应力成正比

式中 c为材料参数，在恒定应变率下可表示为

式中 εP为非弹性应变速率；ξ为应力乘子；A为常数；Q为激活能；T为绝对温度；R为气体常数；m为应变率敏感指数。

粘塑性Anand模型的流动方程采用双曲蠕变规律，可以描述为

针对内变量s的演化方程可以表示为

式中 h（σ，s，T）为硬化函数，是与材料的动态应变硬化和回复过程有关。硬化函数的具体形式为

式中 h0和a为表现材料应变硬化参数。s*为s的饱和值。

联合式（4）和式（5），可以得到：

式中 s'和n分别为变形阻力饱和值的系数和应变率敏感度；s0为变形阻力的初始值，用于式（6）的计算。

联合式（1）、式（2）和式（7），及 σ*=cs*可以得到

式（8）和材料饱和应力、温度及应变速率有关。在等温及 s*＞s条件下，由式（1）和式（6）可以得到

式中 σ0=cs0，s0为s的初始值。Anand本构方程共有 9 个参数：A，Q/R，ξ，s'，n，m，a，h0以及初始变形阻抗s0。

2 材料参数

Anand本构方程的9个参数可以通过以下过程确定[7]：

（1）由试验数据获得所有的饱和应力σ*和稳态塑性应变率对应值。

（2）基于非线性拟合算法，获得式（8）中的A，Q/R，s'/ξ，n，m。

（3）由步骤（2）确定的值，选择参数ξ使得所有σ/s值小于 1，s'由 s'/ξ决定。

（4）基于非线性拟合算法，由不同温度、不同应变速率下的σ-εP数据获得h0、a和s0的拟合值。拟合过程中，需要用到步骤（1）中获得的饱和应力值。

Chen[8]测试Sn3.5Ag钎料的Anand本构方程，发现s0随着温度的增加而逐渐降低，通过拟合分析，发现变形阻抗的初始值s0和温度之间存在明显的线性关系，如式（10）所示。

在诸多研究中h0做常数处理，Chen[8]在研究Sn3.5Ag钎料的过程中，发现h0和温度以及应变速率有明显的关系。

张尚国[9]在研究AuSn钎料Anand本构方程时，发现a、s0和h0受温度及应变率影响较大，取均值会产生较大的误差，a、s0、h0与温度及应变率的关系可拟合为

式中yi（i=1，2，3）分别为Anand参数a、s0、h0；pi1～pi5为与之对应的系数。

Bai[10]等人针对SnAgCu/SnAg/SnCu三种无铅钎料的Anand本构方程进行研究，发现h0与温度和应变速率有明显关系，其中h0由三个参数ah、n1和n2决定，表1给出了SnAgCu和SnCu两种钎料的三个参数。

表1 Sn3Ag0.5Cu和Sn0.7Cu钎料Anand修正模型参数

还有研究者[11]给出了 Sn4.0Ag0.5Cu 钎料 Anand本构方程的s0和h0的具体形式，研究结果和实验结果较为吻合。式（14）和式（15）为两个参数的具体方程

目前针对Anand本构方程的修正多是单一参数的选择，为了更好地将Anand本构模型应用于焊点可靠性的数值模拟中，主要还是做常数处理，因为目前的商用有限元软件如ANSYS/ABQUS等自带Anand本构方程模块。改变参数的影响因素无疑需要编写相关的应用子程序来满足焊点可靠性测试中的实际应用需求。

3 应用

在QFP焊点的可靠性研究中，Anand本构方程可以很好地表现无铅焊点的应力-应变响应。对QFP64 器件 Sn3.8Ag0.7Cu 无铅焊点分析，焊点的应力集中在焊点内侧的尖角处，对比FR-4、LTCC和PTFE三种基板，发现FR-4对应焊点的应力最小，LTCC对应焊点的应力最大，PTFE基板居中，这在一定层次上也说明了Anand本构方程结合相应的有限元模拟可以为电子器件的材料选择提供理论依据。通过研究QFP焊点可靠性，选择SnAgCu和SnPb钎料，通过有限元模拟，发现SnAgCu焊点的应力明显小于SnPb焊点，同时发现了明显的应力松弛，在一定层次上也说明了Anand本构方程能够很好地描述无铅焊点的力学性能。有研究者[12]通过拉伸试验拟合SnAgCu/SnAgCuCe两种材料的Anand本构方程9个参数，然后验证试验数据的准确性，发现模拟结果和试验结果基本吻合。同时针对QFP100器件的无铅焊点进行研究，有限元模型如图1所示，发现SnAgCuCe焊点的应力应变明显小于SnAgCu，基于该研究也可以说明稀土元素的添加提高了QFP100器件的可靠性。

图1 QFP100器件1/4有限元模型

对于BGA器件中的Anand本构方程的应用目前已有相关报道。杨平[13]采用Anand本构模型研究了CBGA器件的焊点可靠性，发现在拐角焊点的应力应变最大，采用BeO基板时焊点的应力应变较小。基于Anand模型构建SnAgCu钎料本构方程，可以分析底部填充胶对FCBGA器件焊点的应力-应变分布。发现底部填充胶的使用可以减小焊点的应力和应变，同时使焊点表面的应力均匀分布[14]。Anand本构方程可以应用于球状焊点界面应力分析，能够很好地解释界面的疲劳失效机制[15]。有研究者构建纳米银焊膏的Anand本构方程，结合有限元模拟，能够很好地描述在拉伸过程中材料的力学行为，同时也能很好地描述材料在温度循环过程中剪切应力-应变的棘轮效应[16]。采用该本构方程可以优化PBGA焊点阵列，同时结合焊点疲劳寿命预测方程可以计算焊点的疲劳寿命，分析发现芯片尺寸对焊点疲劳寿命有较大影响。采用该方程进行数值模拟，可以优化焊点尺寸，为焊点可靠性的研究提供数据支持。结合相应的疲劳寿命预测方程可以预测焊点的疲劳寿命[17]。

4 结论

Anand本构方程以其独特的优势在微电子焊点可靠性研究中获得广泛应用。针对传统的SnPb钎料，Anand本构模型已经具备相当的研究成果，但是对无铅钎料的数据却很少，特别是目前研发一系列的新型钎料，为了更好地研究新型钎料对应焊点可靠性行为，有必要分析和构建Anand方程，满足无铅焊点可靠性的研究需求，同时该系列方程也应该有一定的修正，也需要编写相应的程序满足有限元模拟的需要。

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