矩阵位移法和有限元法在桁架结构分析中的区别

张宁宁

(江南大学环境与土木工程学院，江苏无锡 214122)

有限元数值分析理论中，可以比较精确地分析复杂工程问题和大结构体。有限元法基于离散化的实体，解决一些力学和物理问题，主要应用于设计大型或者特殊项目和系统工程。

矩阵位移法基于位移方法进行结构矩阵分析，把位移看作基本未知量。由于分析方法和有限元分析法相似，矩阵位移法又被称作“杆件结构有限元分析”。

1 两种算法的基本原理

1.1 矩阵位移法的基本原理

矩阵位移法是在力学结构中解决位移和杆件整体力的重要方法，是以位移方法理论为基础的。此方法把节点位移看作基本未知量，把结构离散成单一杆件结构后，分析并建立各个元素的平衡方程。最后，得到节点位移和杆件单元端点力。

1.2 矩阵位移法分析过程

过程分为后处理方法和前处理方法。后处理方法分六步进行:第一步，离散并编码;第二步，计算单元刚度矩阵;第三步，形成原始整体刚度矩阵和整体刚度方程式;第四步，根据边界条件形成刚度矩阵和刚度方程式;第五步，得到节点位移;第六步，计算单元固端力和反作用力。而在前处理法中，除去第三步，其他步骤同。

1.3 有限元法基本原理

有限元法是解决数学问题的有效方法。是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。具体再将连续的整体离散为一组单元的组合体，使用在各单元内假设的近似函数来分片的表示求解整体上待求的未知函数，通常由未知函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达近似函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

1.4 有限元法分析过程

首先，将结构离散成有限单元。这些单元互相联系但又不互相重叠。初始边界条件转移到各节点。然后，在每个单元中，选择简单的近似函数得到未知函数。最后，根据原始数学模型中的变量准则和加权剩余方法建立刚度方程。然后把各个方程组成代数方程，把变量和底值当做未知量。在矩阵和计算机的帮助下，可以获得近似解决方法。

2 矩阵位移法和有限元法的区别

矩阵位移法本来被用于分析复杂的框架结构。很明显，这些结构是由杆件组成，这些杆件的特征可以用经典的位移法分析。尽管在方法和步骤方面，矩阵位移法和有限元法有相似之处，但它们有本质的区别。前者可以用来分析知道的单元节点，在桁架结构中节点力的关系，但不是连续杆件结构。它们的不同在于下面两个方面:1)基本原理的建立方法不同。矩阵位移法是建立在结构力学中的位移理论方法，在计算过程中很容易获得方程，然后用计算机解方程，有限元法是建立在弹性力学理论，变量理论和平均剩余理论的基础上，它通过近似函数获得未知函数来解决问题。2)解决方案的重点不同。有限元法首先根据荷载和材料的本质把结构分成有限个独立单元。然后，在单元中选择简单的近似函数获得未知函数。根据变量原则和平均剩余方法建立刚度方程(1)。

在矩阵和计算机的帮助下，可以获得近似解决方法。

矩阵位移法建立整个刚度矩阵K同时形成矢量力p，然后得到基本函数方程(2)。

通过方程(2)得到节点位移。然后根据方程(3)得到固定端的力。

正如方程(1)和方程(3)所示，关于单元固定端的力的两个算法是不同的。有限元法忽视了固定端的力。

3 结语

本文从基本原理，基本方程方面分析了矩阵位移法和有限元法的微妙区别。当矩阵位移法用来计算固定端的力的时候，固定端的力必须增加。但在有限元的方法中，节点力和节点应力变形获得。没有固定端的力，应力的精度将会下降。根据结构力学的知识，错误率与单元尺寸，荷载的类型，荷载的大小有关。

[1] Si Yuan.From matrix displacement method to FEM:loss and recovery of stress accuracy，Keynote Lecture，First International Symposium on Structural Engineering，Kunming，China，1999.

[2] Huanding Wang，Zhaoping Jiao.The foundation of the finite method(Higher education press，China 2002).

[3] Buyuan Liu，Xian Zhang，Yunpeng Hu，et al.The analysis of finite element application[J].The China science and technology information，2010(12):35.

[4] Beibao Zhu，Zujun Zou，Min Chen.Based on the object-oriented database of finite element method in space truss structural analysis of application[J].Structural Engineers，2003(4):26.

[5] Qiwei Yang.The oblique stem frame calculation in structure matrix analysis[J].The northern industrial university journal，2006(18):91.