考虑齿向修形与安装误差的圆柱齿轮接触分析

唐进元，陈兴明，罗才旺

(中南大学 机电工程学院，高性能复杂制造国家重点实验室，湖南 长沙，410083)

渐开线圆柱齿轮传动因其结构紧凑、便于制造和维护以及传动平稳等特点而被广泛应用，在齿轮传动中，由于安装误差和弹性变形的影响，使齿面发生边缘接触和应力集中，易造成齿面失效[1]。齿向修形能降低对安装误差的敏感度，减少齿顶啮合冲击及噪声，改善齿轮轴向弯曲和扭转变形而造成的载荷集中，使载荷沿齿向分布均匀，提高齿轮啮合性能[2-6]。Alfonso等[7-8]研究了用齿条加工齿向修形斜齿轮的 TCA分析；Litvin等[9-12]研究了用砂轮加工齿向修形斜齿轮的TCA分析和接触应力分析。国内相关研究主要集中在齿向修形量的确定及其实验结果分析[1,13]，针对齿向修形齿轮接触特性的TCA分析文献还极为少见。本文作者从齿面接触分析(TCA)的角度研究齿向修形，为节约制造成本，研究主动轮小轮齿向修形，从动轮大轮不修形的传动形式。首先根据齿轮鼓形修形原理，结合渐开线方程推导了鼓形齿轮的齿面方程；然后构建存在安装误差的齿面接触分析模型，对接触点进行数值仿真分析，实现了鼓形修形齿轮的接触轨迹的可视化，研究了鼓形修形参数及不同安装误差项对接触轨迹的影响规律。

1 齿面方程推导

1.1 齿向鼓形修形小轮齿面方程

本文提出一种等半径圆弧鼓形齿新齿面结构，如图1所示，图1中虚线表示修形后的齿廓、实线表示修形前的齿廓，修形齿面由原来的渐开线上的任意点p沿着渐开线的法线方向齿面内部偏移lp。图2所示为修形小轮齿顶面投影图。坐标系统S1(x1, y1, z1)固定在小轮上，y1与相邻两齿槽的对称线重合，z1与齿轮轴线重合，原点 O1取在齿宽的中点位置，Δl为最大鼓形量，Rg为鼓形半径，b为齿宽，Δw为鼓形中点与齿宽中间位置的偏差，当Δw不为零时，齿面将是非对称的鼓形，对于齿廓上的一点 p，设其鼓形量为lz沿齿向的坐标值zp，从图2所示关系可以得到：

图1 小轮鼓形修形Fig.1 Drum modification of pinion

图2 修形小轮齿顶投影Fig.2 Tip projection of modified pinion

联立式(1)和(2)得到齿廓上点p的鼓形量lp的表达式，当齿宽b，最大鼓形量Δl和偏差Δw给定后，lp只是轴向参数u1的函数。

图3所示为修形齿轮的齿向投影。图中，η_η为修形前的渐开线齿廓；α_α 为修形后齿廓。η_η在S1中可以表示为：

图3 小轮齿向投影Fig.3 Tooth projection of modified pinion

当 η_η 上任意点 p沿着 n1负方向往 α_α 偏移 lp时，偏移量在x1和y1方向上满足下列关系：

由于是齿向修形，所以齿宽方向的坐标值z1与u1是一致，联立式(3)和(4)得到修形后的齿面方程为：

小轮齿面单位法矢为：

其中：rb1为基圆半径；rb1为分度圆半径；u1为沿小轮齿向方向的齿面参数；θ1为渐开线参数；为齿槽参数； in vα= tanα- α 为渐开线函数；α为压力角。

1.2 大轮齿面方程

如图4所示，坐标系S2(x2, y2, z2)固定在大轮上，y2与相邻两齿槽的对称线重合，z2轴与大轮轴线重合且垂直齿面向外，由于大轮齿面是不修形的渐开线，容易得到其齿面方程：

图4 大轮齿向投影Fig.4 Tooth projection of modified gear

单位法矢为：

2 含安装误差的轮齿接触分析(TCA)模型与方法

2.1 轮齿接触分析坐标系的确定

经过如下步骤建立鼓形小轮与标准大轮存在安装误差情况下的接触坐标系：

(1) 使用鼓形齿轮轴线与标准直齿轮轴线建立轴线平面；垂直平面为过鼓形齿轮轴线并垂直于轴线平面的平面。

(2) 以鼓形齿轮轴线中点为原点，鼓形齿轮轴线为z轴，轴线平面为坐标系xz平面，建立绝对坐标系σf(Of, xf, yf, zf)。

(3) 平移绝对坐标系σf的原点Of到标准直齿轮轴线中点得到只有中心距偏差而无平行度偏差的标准直齿轮位置参考坐标系再将坐标系进行偏转(偏转角度为轴平面内垂直平面内得到含有中心距与平行度偏差的标准直齿轮转动参考坐标系

由上述建立齿轮接触坐标系的过程可知接触分析时鼓形齿轮固联坐标系S1的z轴与绝对坐标系σf的z轴重合，标准直齿轮固联坐标系S2的z轴与坐标系的z轴重合，如图5所示。

结合前文的齿面方程与确立的接触坐标系系统，可以写出在绝对坐标系σf下，参与啮合两齿轮的齿面方程：鼓形小轮齿面方程和标准大轮轮齿面方程=C·(B ·r2)。r1和 r2分别为小轮和大轮在各自固联坐标系中的齿面方程；A和B分别为鼓形齿轮、标准直齿轮固联坐标系 S1和 S2到坐标系σf和的坐标转换矩阵；C为标准直齿轮的转动参考坐标系到绝对坐标系σf的转换矩阵。

图5 含安装误差的接触分析坐标系Fig.5 Contact analysis coordinates with alignment errors

其中：γ1和γ2分别为小轮和大轮的转角；η和μ分别为轴平面内及垂直平面内两齿轮轴线的平行度误差；Δa 为中心距安装误差。

2.2 接触轨迹求解

根据齿轮啮合原理[14]，2个齿面和要能够保持连续的切触一定要满足它们的位置矢量和单位法矢时刻相等：

3 算例及分析

根据上述分析，采用一对实际齿轮来研究安装误差及鼓形参数对鼓形修形齿轮接触轨迹的影响规律。实例计算中使用的齿轮模数 m=4，小轮齿数 z1=17，齿宽b1=42 mm，大轮齿数z2=33，齿宽b2=42 mm，压力角α=25°。

3.1 安装误差对鼓形齿轮接触轨迹的影响

取Δl=0.05 mm、Δw=0 mm，考虑到在工程实际中每种安装误差都可能存在，因此在研究不同安装误差项对鼓形齿接触轨迹的影响时只变动所要研究的安装误差，另外两项安装误差为固定的非零值。具体的各项安装误差取值如表1所示。工况A为没有安装误差的理想安装，作为其他工况的参照；B，C和D 3种工况用来研究轴平面内轴线平行度误差对鼓形齿接触轨迹的影响；E，F和G 3种工况用来研究垂直平面内轴线平行度误差对鼓形齿接触轨迹的影响；H，I和J 3种工况用来研究中心距误差对鼓形齿接触轨迹的影响，求得的接触轨迹如图6～8所示。

表1 安装误差取值表Table 1 Table of alignment errors values

图7 垂直平面内平行度对接触轨迹的影响Fig.7 Effect of vertical plane parallel to contact path

图8 中心距偏差对鼓形齿轮接触轨迹的影响Fig.8 Effect of center distance deviation to contact path of drum gear

由图6可见：无安装误差时齿轮的接触轨迹位于轮齿齿宽中间位置，随着轴平面平行度误差的增大接触轨迹逐渐偏离了齿宽中间位置。可见轴平面内轴线平行度偏差的增加会使齿轮的接触轨迹偏离齿宽中间位置的距离增大；但是接触轨迹偏离增加的幅度有减少的趋势；说明随着轴平面内轴线平行度偏差的增大，接触轨迹对其敏感度在降低。

由图7可知：随着垂直平面内轴线平行度偏差的增大，接触轨迹偏离齿宽中点距离也相应增大，并且发现各个接触轨迹的间距基本不变，可见接触轨迹对垂直平面内轴线平行度偏差的敏感度基本上没有变化。

由图8可见：含安装的误差的鼓形修形齿轮接触轨迹基本重合在一起，说明中心距误差的变化对接触轨迹位置基本没有影响，这一点与未修形的标准圆柱齿轮是一致的。

图9 轴平面内轴线平行度偏差与垂直平面内轴线平行度偏差对鼓形齿轮接触轨迹影响的对比Fig.9 Contrast of effects of axial plane parallel and vertical plane parallel to contact path

采用无安装误差、轴平面内平行度误0.02 mm和垂直平面内轴线平行度偏差0.01 mm 3种工况进行对比，如图9所示。由图9观察发现：垂直平面内平行度轴线偏差0.01 mm工况使接触轨迹偏离齿宽中心稍远。说明垂直平面内平行度偏差对接触轨迹的影响比轴平面内轴线平行度偏差对接触轨迹的影响要大得多，就计算的结果来看应该在两倍以上。

3.2 鼓形参数对鼓形齿接触轨迹的影响

取安装误差Δa=0.02 mm，Δb=0.02 mm，Δc=0.01 mm，最大鼓形量Δl及Δw的取值如表2所示。工况K，L和M研究最大鼓形量对鼓形齿接触轨迹的影响，工况N，P和Q研究鼓形中心与轮齿中心偏差Δw对鼓形齿接触轨迹的影响。

表2 鼓形参数取值表Table 2 Table of drum parameters values

图10所示为鼓形量对鼓形齿轮接触轨迹的影响。由图10可见：随着鼓形量的增大接触轨迹逐步向轮齿中间位置靠近。但是鼓形量取0 mm与取0.04 mm时两接触轨迹之间间距要大于取0.04 mm与取0.08 mm时两接触轨迹之间间距，说明随着最大鼓形量的增大鼓形齿接触轨迹对其的敏感度在降低，所以只调节鼓形量的大小对控制鼓形齿接触轨迹的作用是有限的。

图10 鼓形量对鼓形齿轮接触轨迹的影响Fig.10 Effect of drum amount to drum gear contact path

图 11所示为鼓形中点位置对鼓形齿轮接触轨迹的影响。由图11可见：鼓形齿轮的接触轨迹位置随着Δw的变化在齿宽方向上移动非常明显。并且通过调整Δw的取值，可以使存在安装误差情况下的接触轨迹与无安装误差时鼓形齿的接触轨迹重合，说明可以通过调整鼓形中点的位置来控制接触轨迹位置，这对于齿轮的高精度安装和调整有着重要意义。

图11鼓形中点位置对鼓形齿轮接触轨迹的影响Fig.11 Effect of drum midpoint to contact path

3.3 实验分析

应用商用有限元软件 CATIA仿真分析结果与实验进行对比，验证本文提出的修形方法的可行性。为方便进行实验，采用实验室已有的齿轮箱的一对齿轮，对主动轮进行鼓形修形，从动轮不修形，各项修形参数和安装误差如表3所示。

表3 鼓形参数与安装误差取值表Table 3 Table of drum parameter and alignment errors values

将主动轮修形的齿轮对安装到中心距可调的齿轮箱中，如图12所示。调节齿轮安装误差为轴平面(由两相啮合齿轮轴所决定的平面)内的平行度误差，在相啮合齿轮齿面涂上红丹粉，让齿轮对在轻载条件下(负载为磁粉制动器)进行啮合传动，一段时间后得到齿面接触印痕如图13所示。

图12 加载接触分析实验装置Fig.12 Loaded contact analysis experiment device

图13 接触印痕Fig.13 Contact prints

按前面所述的方法，建立有安装误差、含齿向修形的齿面方程，进行啮合接触分析，把得到的离散点导入到 CATIA中建立齿轮接触可视化模型如图 14所示。

图14 加载接触分析接触轨迹Fig.14 Contact path of loaded contact analysis

将图13与图14进行对比发现：齿轮对滚的接触印痕与加载接触分析的接触印痕在位置上基本相符的，说明本文给出的理论方法是正确的。

4 结论

(1) 齿轮中心距误差对鼓形齿接触轨迹的偏移基本上没有影响；轴平面内及垂直平面内平行度误差都会使鼓形齿的接触轨迹产生偏移。

(2) 垂直平面轴线的平行度误差对接触轨迹的影响较轴平面内平行度误差要大得多。

(3) 在相同的安装误差下，随着鼓形量增大，接触轨迹逐渐向齿轮齿宽中间位置靠近，但是它对鼓形量的敏感度逐步降低，说明只利用鼓形量对鼓形齿接触轨迹的控制作用是有限的。

(4) 鼓形中点的位置将直接影响鼓形齿的接触轨迹的位置。故在生产实践中可以通过调整鼓形中点的位置来精确控制接触轨迹的位置，使接触轨迹处于最佳位置，这是本文提出的等半径圆弧鼓形修形齿面的优点之一。

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