平面人工传输线等效集总参数经验公式的研究

杨歆汨 郭辉萍 王 莹 房尚斌 刘学观

（苏州大学电子信息学院，江苏 苏州215021）

引 言

在微波无源器件小型化的研究中，各种慢波结构一直受到人们的关注。近年来台湾科技大学WANG等人提出的平面人工传输线（PATL）是一种具有良好特性的新型慢波结构［1］。它基于微带形式构建，由准集总元件周期级联组成，每一个级联单元如图1所示。平面人工传输线具有类似于普通慢波结构的串联电感－并联电容元件的基本架构，此外，它在串联电感元件的位置还额外并联了电容元件，这使得它的微波性能和普通慢波结构相比更具优势。例如特性阻抗随频率的变化减缓，相移常数随频率变化的线性度更好。PATL还有可调节的高频阻带，有利于实现无源器件的谐波抑制特性。

目前，人们已经利用PATL研制出一些典型的高性能小型化微波无源器件［2－6］，展现了PATL的优点。

由图1可以看到：PATL单元主要由微带准集总元件如弯曲线电感、交指电容组成，这些元件的等效集总参数值和元件的结构尺寸以及介质基板厚度、介电常数之间存在比较复杂的关系，纯粹靠手工调节设计PATL单元既耗时也难以保证准确度，而仅采用仿真软件进行优化设计也十分费时。本文针对这一问题，对微带弯曲线电感、交指电容的等效集总参数与各种依赖因素的相互关系做系统研究，得到描述这些关系的经验公式，从而为PATL结构的快速准确设计提供有力的支持。

图1 平面人工传输线单元结构示意图

1 弯曲线电感等效集总参数的经验公式

组成PATL的弯曲线电感如图2（a）所示，其主要结构参数为线宽wm，线间隙gm，纵向弯曲长度lm以及弯折数nm.当弯曲线电感的物理尺寸远小于工作波长时，它可以看作一个集总电感Lm，另外金属弯曲线与地之间还存在寄生电容Cl，因此，弯曲线电感等效为如图2（b）所示的π型二端口网络，该网络的导纳参数Y11、Y21和等效集总参数的关系为

利用数值仿真软件HFSS可以得到微带弯曲线电感的导纳参数，将之代入式（1），便能求出等效集总参数Lm、Cl.利用这一方法可求出弯曲线电感在不同结构尺寸下的集总参数Lm、Cl，进而拟合出Lm、Cl与结构尺寸的关系式。实际上，仅调节纵向弯曲长度lm就能实现较大范围的电感值，满足很多场合的需要，因此这里只研究Lm、Cl关于lm的经验公式，而将线宽wm和线间隙gm设为恒定值0.2 mm，弯折数nm固定为6（如图2（a）），同时设定微带线介质基板厚度t＝0.508mm，介电常数εr＝3.38.严格来讲，利用式（1）求得的等效集总参数是频率色散的，考虑到波长远大于弯曲线尺寸时色散微弱，为使行文简洁，我们选择在固定频率915MHz上考察Lm和Cl的经验公式。

图2 微带弯曲线的电感示意图及其π型等效集总电路

1.1 等效集总电感Lm的经验公式

在0.4mm至4mm范围内取若干离散lm值，仿真得到对应于这些lm点的Lm值，然后利用Matlab的nlinfit函数对Lm进行非线性拟合［7］，这里采用文献［8］中细长直微带线等效电感的解析公式作为Lm拟合曲线的回归函数模型，最终得到微带弯曲线的等效集总电感Lm经验公式为

该经验公式拟合曲线的效果如图3（a）所示。

1.2 等效集总电容Cl的经验公式

采用和拟合lm曲线相同的方法对微带弯曲线的等效对地电容Cl和lm的函数关系进行拟合，得到Cl经验公式为

式中0.4mm≤lm≤4mm.该经验公式拟合曲线的效果如图3（b）所示。

图3 等效集总参数关于lm的曲线拟合效果

2 交指电容等效集总参数的经验公式

用于构造PATL的微带交指电容如图4（a）所示，其主要结构参数为指宽wd、交指间隙gd、交指长度ld以及交指数目nd（定义为左右交指数目的平均值），此外该交指结构两端还各有一段长度分别为lo的微带延长线。当交指电容的物理尺寸远小于工作波长时，它可以看作一个集总电容Cd，另外金属交指连同交指两端的延长线对地有寄生电容，分别用Cj1、Cj2表示，因此，交指电容等效为如图4（b）所示的π型二端口等效网络，该网络的导纳参数Y11、Y22、Y21和各个等效集总参数的关系为

图4 微带交指电容结构示意图及其π等效集总电路

类似于弯曲线电感，我们借助HFSS仿真和式（4）求出交指电容在不同结构尺寸下的等效集总参数Cd、Cj1和Cj2，进而拟合出它们与结构尺寸的关系式。鉴于在实际PATL的应用中Cj1和Cj2以并联的形式成对出现［1］，所以将Cj1和Cj2合并为一个整体CN＝Cj1＋Cj2后再进行公式拟合。同上一节，选取微带介质基板厚度t＝0.508mm，介电常数εr＝3.38，考察频率为915MHz.为简单起见，这里仅研究交指数目nd和交指长度ld影响Cd、CN的经验公式，而将交指宽和交指间隙固定为wd＝gd＝0.2 mm.微带延长线长度固定为lo＝2mm.这是因为当交指宽wd等于交指间隙gd时，交指结构的电容密度达到最大［10］，此时仅靠调节nd和ld就能获得较大的Cd变化范围。

2.1 等效集总电容Cd的经验公式

图5给出了不同nd和ld取值情况下的等效电容Cd仿真结果以及根据这些离散数据点拟合得到的Cd曲线，相应的经验公式为

式中：2mm≤ld≤2.9mm；nd＝1，1.5，2，…，5.

2.2 等效集总电容CN的经验公式

影响CN大小的主要是微带延长线的长和宽（分别由lo和nd决定，其中lo固定），而ld对CN影响较小，因此，这里只考虑CN随nd变化的关系。考虑到nd只能以0.5为间隔取一系列离散值（nd＝1，1.5，2，2.5，…），所以这里直接给出CN在不同nd时的仿真值：

图5 等效集总电容Cd关于nd、ld的曲线拟合效果

3 考虑介质基板厚度和介电常数影响的修正经验公式

前面介绍的经验公式仅适用于在厚度t＝0.508mm，介电常数εr＝3.38的介质基板上设计PATL，使用范围非常局限。本节进一步讨论介质基板厚度和介电常数对微带弯曲线和微带交指电容的等效集总参数Lm、Cl、Cd、CN的影响（wm、gm、wd、gd和lo维持不变），进而总结出适用于不同基板厚度和介电常数的修正经验公式。

3.1 等效集总电感Lm的修正经验公式

修正后的微带弯曲线等效集总电感Lm经验公式应同时包含弯曲线纵向弯曲长度lm，介质基板厚度t，以及基板介电常数εr的影响。若将lm、εr分别固定为1.5mm、3.38，在0.3至3.3mm 范围内取一系列离散的t值并仿真求出相应的Lm值，可以根据所得数据点拟合出Lm关于t的函数：

若将lm、t分别固定为1.5mm、0.508mm，在2.1至10.2范围内取一系列离散的εr值并仿真计算相应的Lm值，可以根据所得数据点拟合出Lm关于εr的函数：

大量仿真和计算表明：当lm、εr取不同值时，t对Lm的影响都近似体现为在式（2）的基础上乘上一个只和t相关的比例因子；当lm、t取不同值时，εr对Lm的影响都近似体现为在式（2）的基础上乘上一个只和εr相关的比例因子。因此，将特殊情况下得到的式（7）和式（8）分别对t＝0.508mm、εr＝3.38归一化，然后将它们与式（2）相乘便得到适用于不同介质基板厚度和介电常数的Lm修正经验公式

式中：0.4mm≤lm≤4mm；0.3mm≤t≤3.3mm；2.1≤εr≤10.2.

3.2 等效集总电容Cl的修正经验公式

类似于Lm，微带弯曲线等效集总电容Cl的修正经验公式可以通过将式（3）乘上一个与t相关的比例因子以及一个与εr相关的比例因子来得到。在lm、εr分别为1.5mm、3.38的特殊情况下拟合出Cl关于t的函数：

在lm＝1.5mm、t＝0.508mm这一特殊情况下拟合出Cl关于εr的函数：

将式（10）和式（11）分别对t＝0.508mm、εr＝3.38归一化便得到上述两个比例因子。因此，计入介质基板厚度和介电常数影响的Cl修正经验公式为

式中：0.4mm≤lm≤4mm；0.3mm≤t≤3.3mm；2.1mm≤εr≤10.2.

3.3 等效集总电容Cd的修正经验公式

大量仿真和计算表明：当nd、ld、εr取不同值时，介质基板厚度t对Cd的影响都近似体现为在式（5）的基础上乘上一个只和t相关的比例因子；当nd、ld、t取不同值时，基板介电常数εr对Cd的影响都近似体现为在式（5）的基础上乘上一个只和εr相关的比例因子。在nd＝2.5、ld＝2.5mm、εr＝3.38的特殊情况下拟合出Cd关于t的函数：

在nd＝2.5、ld＝2.5mm、t＝0.508mm 的特殊情况下拟合出Cd关于εr的函数：

将式（13）和式（14）分别对t＝0.508mm、εr＝3.38归一化便得到上述两个比例因子。最终，考虑了介质基板厚度和介电常数影响的Cd修正经验公式为

式中：2mm≤ld≤2.9mm；nd＝1、1.5、2…5；0.3 mm≤t≤2mm；2.1≤εr≤10.2.

3.4 等效集总电容CN的修正经验公式

同上，CN的修正经验公式可以通过将式（6）乘上一个和t相关的比例因子以及一个和εr相关的比例因子来得到。在nd＝2.5、ld＝2.5mm、εr＝3.38的特殊情形下拟合出CN关于t的函数：

在nd＝2.5、ld＝2.5mm、t＝0.508mm 的特殊情形下拟合出CN关于εr的函数：

将式（16）和式（17）分别对t＝0.508mm、εr＝3.38归一化便得到上述两个比例因子。因此，计入介质基板厚度和介电常数影响的CN修正经验公式为

式中：nd＝1，1.5，2…5；0.3mm≤t≤2mm；2.1≤εr≤10.2.

4 经验公式的验证和应用举例—基于PATL的威尔金森功分器设计

PATL的设计分为两个步骤，第一步是根据所需的特性阻抗和相移大小求出PATL各准集总元件的等效集总参数值，第二步是根据等效集总参数值确定各准集总元件的物理尺寸。本文所得修正经验公式可大大简化第二步的实施，只要将已知PATL各准集总元件的等效集总参数值代入经验公式即可快速准确的求出准集总元件的物理尺寸。

图6 基于平面人工传输线的威尔金森功分器样品

作为应用实例，本节利用上节总结的修正经验公式设计一个基于PATL的Wilkinson功分器。该功分器的输入输出端口阻抗均为50Ω，因而它的两段1／4波长臂的特性阻抗为70.7Ω.选用介质板厚t＝0.8mm且介电常数εr＝2.55的PATL在中心工作频率915MHz上构造这两条臂，最终得到Wilkinson功分器样品，如图6所示。该功分器的物理尺寸为28mm×25mm，仅为传统微带线Wilkinson功分器面积的30%.

图6中功分器的每条臂实际上不仅包括一个PATL单元，还包括两段连接输入和输出端的普通微带线，这两段微带线的电长度之和约为10°，因此PATL单元的电长度应为80°.根据所需的特性阻抗（70.7Ω）和电长度（80°）可求出 PATL单元各个等效集总参数的值［1］，再将这些值代入修正经验公式就能很快求出PATL各准集总元件的尺寸参数如下：lm＝2mm，ld＝2.8mm，nd＝3，这里各种线宽和线间距均为0.2mm.

这一功分器实测结果如图7（a）所示，在中心频率915MHz处，S21＝－3.25dB，S11＝－32.9dB，S22＝－29.2dB，S22＝－29.1dB，符合预期设计指标。可见，利用经验公式设计PATL是行之有效的，能够大大缩短基于PATL的微波器件的设计周期。另外，图7（b）给出了功分器的S参数仿真结果，该结果是基于功分器的等效集总电路模型得到的，和实测结果基本一致。仿真和实测结果间的差别主要源于样品加工误差，以及经验公式对PATL损耗和等效集总参数频率色散的忽略。

图7 基于平面人工传输线的威尔金森功分器S参数实测结果和仿真结果

5 结 论

借助数值仿真考察了微带弯曲线电感和微带交指电容两种微带准集总元件的等效集总参数与元件结构尺寸、基板厚度和介电常数间的相互关系，并总结出相应的经验公式。这些经验公式对于由微带弯曲线和交指构成的慢波结构如新型平面人工传输线的快速准确设计有着重要意义。

本文的研究忽略了平面人工传输线的损耗，并假设其等效集总电路的各个元件的参数大小与频率无关。在后续的研究中，我们将进一步考虑金属和介质损耗以及等效集总元件的色散等因素，给出更为完善的设计经验公式。

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