频率选择表面电磁特性的多元自适应采样分析

马 鑫 万国宾 王 威 万 伟

（西北工业大学电子信息学院，陕西 西安710129）

引 言

频率选择表面（FSS）结构由沿二维方向上周期排列的单层或多层级联导体单元组成，具有较强的空间滤波特性，在雷达天线罩、副反射面等方面有着广泛应用。因此，近年来国内外学者对FSS的分析理论和工程应用方面进行了深入研究［1］。文献中有多种FSS电磁特性的分析方法，其中谱域矩量法（MoM）因其较好的通用性和精度而被普遍采用［2］。但是当FSS单元形状复杂或电尺寸较大时，直接矩量法求解大型矩阵方程非常耗时，需要寻求高速的算法。从加速算法本身着手，可采用共轭梯度法［3］，快速多极子［4］等方法，但是这些方法仅对单个点的计算非常有效。在FSS的分析与设计中，常常需要在较宽的频带或是入射角范围内获得散射特性［5］，如果逐点重复求解矩阵方程，必将导致巨大的计算工作量。因此，研究一种逼近方法快速分析FSS散射特性具有重要的现实意义。

目前，参数模型逼近的求解方法已被广泛用于电磁散射的计算中。其中，渐近波形估计法通过采样点的导数信息构建多项式模型，快速分析FSS的宽带电磁散射特性［6］。但计算的准确性受到了级数收敛半径的限制，并占用了大量的内存空间。Maehly逼近法依据Chebyshev节点变换关系选择采样点，基于Chebyshev级数展开的有理函数模型拟合未知电流［7－8］。由于参数模型的系数通过线性方程组求解，当采样点数较多时，可能导致病态矩阵的产生，影响数值计算的稳定性。自适应频率采样（AFS）法基于Neville迭代算法在宽频范围内建立任意阶数的有理多项式，用于分析微波电路的散射特性［9］和FSS的电磁特性［10］，大大缩减了整个频率响应的计算时间。但AFS法局限于对频率参数的自适应采样，在FSS分析中还需要考察入射方向、结构参数等对FSS电磁特性的影响。

本文旨在将一维的AFS法扩展为可计算多元函数的自适应采样法（ASM），并应用于FSS的电磁特性分析。文中首先建立FSS电磁特性分析模型以及散射参数的多元函数模型，其次基于Neville型拓扑关系分别给出一维和多维的自适应采样方法，最后通过算例分析，考察频率、入射方向等参数对FSS散射特性的影响，验证方法的有效性。

1 模型与方法

1.1 FSS电磁特性分析模型

具有L层介质衬底的平面FSS结构如图1所示 ，其中FSS位于第l与l＋1（l＝0，1，…，L）层介质界面。若频率为f的平面波沿方向（θi，φi）照射，则其导体表面的电场积分方程为

图1 平面波照射FSS

式中：Tx、Ty为FSS单元沿x、y方向排布的周期；分别为入射场和FSS结构的并矢格林函数；为导体未知感应电流。

采用矩量法求解未知电流可得到FSS的散射场，进而求得FSS的散射参数［11］。以TE极化传输系数为例，散射参数可表示为

式中：E＋为介质衬底的透射场与FSS结构散射场之和。

由式（1）～（4）可以看出，FSS的散射参数与（θi，φi）、 f 和 FSS结构参数（周期，介质参数、厚度）等多个变量有关。因此，可定义n维变量空间Π＝（x1，x2，…，xn）并建立相应的散射参数函数S（x1，x2，…xn）.若令x1为f，建立一维函数S（x1）可获得FSS的频带响应 .若令x1、x2分别为θi、φi建立二维函数S（x1，x2），则可考察入射方向对散射特性的影响。为了获得多个变量在较宽范围内变化的FSS散射参数，需要采用矩量法反复计算电场积分方程，非常耗时。为此，引入ASM法来快速分析FSS的散射特性。

1.2 一维ASM法

对一维变量S（x0）建立有理函数模型

式中：μ、v分别为分子和分母多项式的阶数；a，b为未知系数。为了避免求解系数矩阵，采用递推拓扑技术Neville型算法［12］，如图2所示。

图2 Neville算法递推表

在递推关系中采用矩量法求解采样点x0i处的散射参数Si0（x0i）作为第一列初始值，递推关系从第二列开始，可选用以下三式建立

1.3 多维ASM法

对多元函数S（x1，x2，…，xn）建立有理函数模型

查找出现误差最大的点作为下一个可能的采样点，直至满足误差限ε，查找结束。选用不同递推关系可构造不同函数模型，当采样点足够多时，函数模型均能达到误差限范围。详细的递推关系选择方法参见文献［9］。为方便ε的选择，本文定义误差为目标函数模型的结果与电磁计算的结果之差为

其中，μi（j）和vi（j）为整数函数，分别表示分子和分母中参数xi的次数，a、b为未知系数。为避免直接求解系数，将一维ASM法拓展为多维技术。定义为第i维空间的计算范围，ψi为第i维空间的测试点集合，Φi为第i维空间采样点集合，Ki为Φi内采样点个数，xik为Φi内采样点（k＝0，1，…，Ki－1）。初始化令各维空间的采样点不需要等间距分布，但必须完全填充空间网格，如图3所示。1）采样点查找

A：初始化多维空间的Φi和ψi，令i＝1；

B：固定第s维（s≠i）空间参数xs，选择Φs中各采样点，分别沿平行于xi方向进行一维ASM法查找最大误差εmax，如果εmax（）＜ε跳转到步骤4，否则，出现最大误差的测试点作为Φi的新采样点，令Ki加1，矩量法计算在Φs中各采样点的值以填充网格并作为下一步的初始值，i加1；

C：如果i≤n，重复步骤2，否则，令i＝1重复步骤2；

D：采样点查找结束，采样点网格已被完全填充，进行递推内插。2）递推内插

A：待求点为Q（x＊1，x＊2，…，x＊n），采样点的散射参数作为递推初始值，令i＝1；

B：固定第s维（s＝i＋1）空间参数xs，选择Φs中各采样点，分别沿平行于xi方向在x＊i点进行一维递推内插得到过度点（x＊1，x2，…，xn）的内插值，其中x2，…，xn分别为Φ2，…，Φn中的采样点，如图3所示，令i加1；

C：前一步过度点集合作为下一步计算的初始值，固定第s维（s＝i＋1）空间参数xs为Φs中各采样点，分别沿平行于xi方向在x＊i点进行一维递推内插得到过度点（x＊1，x＊2，…，xn），令i加1；

D：重复步骤3，直至i＝n，得到待求点Q（x＊1，x＊2，…，x＊n）.

图3 二维自适应采样内插法

2 数值结果

基于上述ASM法，分别对十字形贴片和方形孔径单元FSS的散射特性以及口径天线－FSS罩系统方向图进行计算，以验证算法的有效性。

2.1 十字形贴片单元FSS

十字形贴片单元如图4（a）示，单元尺寸为Ld＝6mm，Lw＝1mm，Tx＝Ty＝8mm .介质层结构如图1示，选择L＝3，l＝0，εr1＝εr3＝3，εr2＝1，h1＝h3＝0.2mm，h2＝10mm.图5给出了平面波垂直入射时，1～30GHz宽频内的频率响应。ε设置为10－5，频率采样点为21个。图6给出了以21GHz TE模式入射时，反射系数随θi从1°～80°，φi从0°～45°的变化规律，图中给出了φi分别为6°，16°和36°的三条曲线。ε设置为10－5，θi和φi方向的采样点分别为33、32个。由结果可以看出，采用ASM法可采集到特曲线上突变的点，计算的结果与直接MoM计算的结果完全吻合，计算量明显降低。

图6 十字形FSS的入射角度响应

2.2 方形孔径单元FSS

方形孔径单元如图4（b）示，单元尺寸Tx＝Ty＝16mm，W＝12mm.介质层结构如图1示，选择L＝2，l＝1，εr1＝εr2＝2.2，tanδ＝0.01，h1＝h2＝3.8 mm.ε设置为10－4，通过θi和φi方向21、20个采样点，可得到TE极化10GHz平面波照射下θi从1°～80°，φi同时从0°～45°变化的FSS传输系数幅度3D曲线图，如图7示。若θi和φi方向分别以1°为步长，采用直接MoM求解得到同样结果需要34个小时，但是采用多维ASM法仅用3.4个小时，计算效率明显提高。

2.3 FSS天线罩

以抛物柱面FSS天线罩为例，横截面外形方程为抛物线x2＝－a（z－hz），a为抛物线的焦距，hz为z向天线罩顶距原点的距离，柱面沿y方向长度为Ly，如图8所示。选择与图7相同的方形孔径FSS结构，单元分别沿y方向和横截面的母线方向周期均匀排布。天线罩外形参数为：a＝12λ，hz＝12λ，Ly＝36λ.

图9给出了坐标原点位置上工作频率为10 GHz的矩形口径面天线经过FSS罩的远区辐射方向图。其中FSS罩壁传输特性分别采用了直接MoM和ASM法计算，计算所需时间分别为90.4h、3.4h.图10（见845页）给出了罩面剖分单元位置上，采用ASM法计算FSS罩壁传输特性的误差分布。其中，TE、TM极化传输特性的均方误差分别为0.0943%，0.0347%，相对误差大于1%的天线罩剖分单元个数占总剖分单元个数的比例分别为0.2229%，0%.由结果可以看出，ASM法的计算精度满足工程要求，计算效率与直接MoM法相比提高了30倍。ASM法的计算时间与各维空间采样点数有关，正比于与剖分单元数无关；MoM法的计算时间与单元数成正比。通常情况下，工程FSS天线罩分析时罩面剖分单元上万个，计算中需要考虑不同频率、扫描角和极化因素，采用MoM法计算需要半年以上的时间，若采用ASM法进行整罩分析只需要1～2天的时间，计算效率显著提高。

3 结 论

提出了一种可快速分析多个变量对FSS散射特性影响的多维ASM法。对不同结构FSS单元及FSS罩的电磁特性进行了计算分析。计算结果表明：多维ASM法的计算结果与直接MoM法结果吻合，计算效率得到了明显改善。

文中主要针对FSS电磁特性随入射波频率、入射角变化的曲线进行计算分析，ASM法还可以应用于随介质厚度、介电常数、周期等参数改变FSS特性曲线的计算。

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