巧求圆中的『阴影』

☉江苏省扬州中学教育集团树人学校 赵玉龙

求与圆有关的阴影部分的面积是中考中常见的题型，这类问题能考查同学们的观察能力、随机应变能力和综合运用数学知识的能力，解答此类问题要注意观察和分析图形的形成，学会分解和组合图形，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算.

下面介绍几种常用的解法，供同学们复习时参考.

一、等积变换法

例1如图1，P是半径为1的⊙O外一点，OP=2，PA切⊙O于A，弦AB∥OP，连接PA，则图中阴影部分的面积是_______.

图1

解析：连接OA、OB，由PA切⊙O于A，知OA⊥PA.

又由OA=1，OP=2，知∠OPA=30°，∠AOP=60°，

因AB∥OP，故S△PAB=S△OAB，∠AOP=∠BAO=60°.

评注：等积变换法是在不改变图形面积的前提下，利用“等底、等高的两个三角形的面积相等”，将不规则图形转化为规则图形的面积来求解的方法.

图2

二、作差法

例2（2011年四川达州）如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC=2，则图中阴影部分的面积为________（结果不取近似值）.

解析：用三角形ABC的面积减去扇形EAD和扇形FBD的面积，即可得出阴影部分的面积.

因BC=AC，∠C=90°，AC=2，所以AB=2.

又点D为AB的中点，所以AD=BD=.

图3

三、割补法

例3如图3，以BC为直径，在半径为2圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是（ ）.

评注：割补法是指在不改变图形面积的前提下，通过割补，把分散的面积集中在一起，把不规则的图形凑合成规则图形的方法.

图4

四、特殊位置法

例4如图4，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图4中阴影部分面积为____cm2.

解析：只要将△ABC绕点B逆时针旋转90°就与△A′BC′重合，此时阴影部分的面积转化为两个扇形面积之差.

因为在Rt△ABC中，∠BAC=30°，所以∠ABC=60°，所以∠ABA′=120°，又AB=4cm，所以BC=2cm.

例5（2011年浙江衢州）如图5，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）.

图5

A.a2-πB.（4-π）a2

C.π D.4-π

解析：设正方形的四个顶点分别为A、B、C、D，当圆形纸片移动至⊙O1时与AD相切，过点O1作O1M⊥AB，O1N⊥AD，垂足分别为M、N，则四边形AMO1N为正方形.所以∠O1=90°.

此时圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是

评注：解答本题的关键是搞清楚圆形纸片“不能接触到的部分”的面积，即圆形纸片与正方形的相邻两边都相切时两切点与正方形的一个顶点形成的曲三角形面积.

图6

五、整体代换法

解析：直接求出阴影部分的面积是不可能的，根据题意结合图形，知阴影面积等于直角三角形的面积减去三个扇形的面积.其中A、B两个扇形的面积无法直接求出，但若把它们看做一个“整体”，则问题易求.

因A、B两个扇形的半径相等且圆心角之和为90°，

以上为同学们总结了五种求圆中阴影面积的方法，在遇到求与圆有关的阴影面积时，我们只要认真分析阴影部分的形成方法，并找出其与圆的关系，就能正确的求出面积.