不确定网络控制系统的保性能可靠控制

郑金海

（山东理工大学计算机科学与技术学院，山东淄博255091）

与传统的点对点式的控制系统相比，网络控制系统（NCSs）具有成本更低、效率更高、易安装、维护简便以及较高的可靠性和灵活性等优点，使得网络控制系统得以在加工制造、交通运输、医疗诊断以及航空航天等领域得到广泛应用．但是由于网络带宽的发展始终滞后于数据量的增长速度，数据在网络传输过程中就不可避免地存在着延迟、错序甚至丢失的现象，以及执行器或传感器发生故障的可能，使得网络控制系统的稳定性和可靠性受到较大的影响．因此近年来许多文献对于网络时延、丢包、错序以及不确定性等因素对系统性能的影响进行了相关的研究．文献［1] 研究了一类时变参数不确定性的线性时延系统的保性能控制问题；文献［2] 提出了单包传输情况下的包含时延、丢包、错序等非理想因素的模型；但是文献［1－4] 均没有涉及针对可靠控制的研究；文献［5] 研究了具有时变采样周期的网络控制系统的执行器失效的稳定性问题；文献［6] 同时研究了不确定系统的鲁棒稳定性问题和保性能容错控制问题，但是没有考虑网络时延、丢包、错序等非理想因素；文献［7] 中提出的模型考虑了这些因素，但是文中只研究了系统的保性能控制器的设计问题．因此，本文基于文献［7] 中提出的系统模型，研究了具有网络时延、丢包、错序等影响的网络控制系统的鲁棒控制和保性能可靠控制问题，通过仿真实例验证了本文方法的正确性．

1 问题描述

考虑如下一类含有状态时延的线性不确定系统：

其中，x（t）∈Rn和u（t）∈Rm分别是适维状态向量和控制输入向量；A，A1和B为适维常数矩阵，d为定常状态时延，ΔA，ΔA1和ΔB为具有时变特性的不确定参数矩阵，范数有界且满足

其中，F（t）∈Ri×j为具有Legesgue可测元素的不确定矩阵，满足FT（t）F（t）≤I，D，E，E1和Eb为适维常数矩阵．

综合考虑网络传输过程中网络延迟、丢包和错序等因素的影响，实际的系统可描述为

其中，h为传感器的采样周期．τk表示ikh时刻的采样信号作用到被控对象时的时延．ik（k＝1，2，3，…）是一些整数，并且有｛i1，i2，i3，…｝⊂｛0，1，2，3，…｝．

从而，系统（3）可改写为

对于t∈［ikh＋τik，ik＋1h＋τik＋1），如果ik＋1＞ik，说明数据包传输过程中没有出现错序；否则，说明出现错序现象．而如果｜ik＋1－ik｜＞1，则说明出现了数据包丢失．

2 主要结果

对于控制输入向量u（t）＝［u1（t）u2（t）…um（t）]T，用uF（t）＝表示来自存在故障的执行器的信号［8]，并且满足＝αiui，i＝1，2，…，m，从而有

当αi＝0时，表示执行器完全失效；当αi＝1时，表示执行器正常；当0＜αi＜1时，表示执行器部分失效．

于是，考虑了执行器故障的系统模型为

为了得到本节的结果，给出如下引理：

引理1 设D，E和F为具有适当维数的实矩阵，其中F满足FT（t）F（t）≤I，则对于任意向量ε＞0，有下列不等式成立：

引理2 当N＞0时，下述等式左边＞0，

2．1 不确定NCSs的鲁棒稳定性

定理1 对于任意可能的执行器故障矩阵α∈Rm×m，若存在对称正定矩阵＞＞0＞0，适维矩阵X，Y（i＝1，2，3，4）和标量ε＞0，对于任意给定的标量η，λi（i＝2，3，4）以及矩阵Q＞0，R＞0，使得不等式（9）对于可接受的不确定性均是成立的，则网络控制系统（5）渐近稳定，u（t）＝Kx（t），（K＝YX－T）是该系统的一个鲁棒稳定性控制律．

其中：

其中：

证明 构造Lyapunov－Krasovskii泛函

其中：P＞0，S＞0，T＞0．

根据Newton－Leibniz公式x（t）－x（ikh）－以及对任意适维数矩阵Ni和Mi（i＝1，2，3，4），利用（5）式，分别构造如下等式：

从而，V（t）在t∈［ikh＋τik，ik＋1h＋τik＋1] 上的关于时间t的导数为

其中eT（t）＝［xT（t）xT（t－d）xT（t）] ，NT＝

根据t∈［ikh＋τik，ik＋1h＋τik＋1），及（8）式，利用引理2，得

其中：

根据矩阵的Schur补性质，如果¯Ω＜0，根据（11）式就可以推知˙V（t）＜0．

根据引理1，

其中：

其中：

再次利用矩阵的Schur补性质，并定义Y＝KXT＝XPXT＝XSXT＝XTXT＝XNiXT（i＝1，2，3，4）替换相应矩阵，再用diag｛X－1X－1X－1X－1X－1｝及其转置矩阵分别左乘和右乘得到的矩阵，最后定义M2＝λ2M，M3＝λ3M1，M4＝λ4M1，X＝M－11，

得到式（12），从而证明了˙V（t）＜0．并且由定义Y＝KXT可得，K＝YX－T．定理得证．

2．2 保性能鲁棒可靠控制

针对本文中建立的系统模型，性能指标为

其中，Q和R是给定的正定对称矩阵［9]．

定理2 对于任意可能的执行器故障矩阵α∈Rm×m，若存在对称正定矩阵＞＞＞0，适维矩阵X，Y（i＝1，2，3，4）和标量ε＞0，对于任意给定的标量η，λi（i＝2，3，4）以及矩阵Q＞0，R＞0，使得不等式（9）对于可接受的不确定性均是成立的，并且满足（14）式，则系统（5）是保性能渐近稳定的，u（t）＝Kx（t），（K＝YX－T）是该系统的一个保性能鲁棒可靠控制律．

证明 根据定理1的证明，由（12）式可得

对上式，从ikh＋τik到t∈［ikh＋τik，ik＋1h＋τi＋1] 积分，由于系统（6）是渐近稳定的，因此有V（∞）→0．从而（14）式成立．根据定理1的证明过程可知，u（t）＝Kx（t），（K＝YX－T）是该系统的一个保性能鲁棒可靠控制律．定理得证．

以下考虑最优保性能控制律的设计问题，该控制律使得性能指标的上界J＊最小，即求得以下问题的一个可行解

定义 Φ1＝φ（0）φT（0），

由矩阵迹的性质可得

引入新变量

使得

根据矩阵的Schur补性质，可得

其中，M＝X－1＝＝＝

对于常数σ，假设

综合上述各式，对于系统（5）和性能指标（13），利用cone complementary linearization（CCL）算法，系统的最优保性能控制设计问题可以转化为以下最优问题

满足

算法

1）为σso设置一个充分大的初始值σ，使得（20）存在一组可行解．令σso＝σ．求得一组满足（21）式的可行解

3）若步骤2）中求出的解满足（17）式，得解．然后适当减小σ的值，令σso＝σ，转到步骤1）．若不满足，检查k是否达到最大迭代次数kmax，若达到，则问题无解，退出；否则，令k＝k＋1，转到步骤3）．

3 实例仿真

考虑不确定时延系统（5），其中：

1．5，λ3＝2，λ4＝2．5，则利用上述算法，给定d＝1，K＝YX－1，可得表1．

表1 给定不同的故障矩阵α得到的反馈增益K和性能指标上界σso________________________

其中，1）α＝I表示执行器完全正常；2）α＝diag｛1，0｝和α＝diag｛0，1｝分别表示执行器1，2发生故障完全失效．

可见，在执行器发生故障的情况下，利用本文中的方法，仍能达到可以接受的性能要求．

4 结束语

本文针对综合考虑了网络传输过程中存在时延、丢包和错序等非理想因素的网络控制系统模型，研究了系统的鲁棒稳定性控制和保性能可靠控制问题，分别推导出了执行器正常时，系统的带有状态反馈和鲁棒控制律，以及执行器可能发生故障时，系统的保性能可靠控制．文中最后的数值实例，验证了本文方法和正确性．

［1] Li Y，Jian C．An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time－delay systems［J] ．Automatica，1999，35：1 155－1 159．