饱和不确定磁流变阻尼器悬架系统反馈控制器的设计*

岳永恒，王 茂，赵 强

(1.哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨 150080;2.东北林业大学交通学院，哈尔滨 150040)

前言

为改善汽车悬架系统的减振效果，提高车辆行驶的平顺性和舒适性，磁流变阻尼器(magneto-rheological damping，MRD)悬架系统成为国内外研究的热点［1－7］。MRD 的数学模型为文献［8］和文献［9］中提出的修正Bouc-Wen模型，但其强非线性增加了控制器的设计难度。因此常采用智能控制算法如自适应控制、神经网络控制等［4－6］对MRD进行研究。智能控制算法在理论上能够满足系统稳定性要求，然而由于算法收敛速度慢、系统响应时间长等缺点，限制了MRD产品在实际中的应用。

磁流变阻尼器的强非线性主要表现为饱和特性、磁回滞特性和双线性3个方面。磁回路封闭曲线面积狭小且线性部分较为接近，因此饱和特性是MRD的主要特性。应用饱和特性可简化传统MRD的Bouc-Wen模型，便于控制器的设计。近10年来，饱和输入问题的研究取得了可喜的成果［10－13］，为研究MRD控制系统稳定性提供了有力的技术支持。

本文中以饱和模型替代传统的Bouc-Wen模型，研究了悬架系统磁流变阻尼器的减振效果。

1 MRD悬架系统模型

MRD模型的强非线性主要表现在饱和特性、磁回滞特性和双线性上，见图1。

根据MRD的物理特性曲线而建立的Bouc-Wen数学模型为

模型中数学符号的具体含义见文献［1］和文献［2］。对于如此复杂的数学模型，很难建立有效的实时控制系统。此外，文献［6］中对MRD非线性物理特性实验数据的分析表明，饱和特性为MRD的主要物理特性。依据文献［4］～文献［7］的研究策略，令MRD的Bouc-wen模型简化为饱和模型，设计MRD悬架系统闭环反馈控制器。

应用LORD公司RD1005－3型MRD设计减振实验台来研究半主动悬架系统MRD的减振效果。RD1005－3型MRD最大输出阻尼力为4 000N，而介于±4000N之间的输出阻尼力近似为线性。因此，用分段函数表示RD1005－3饱和特性:

根据汽车悬架系统的工作原理而设计的MRD减振实验台如图2所示。

用变频器驱动电机带动凸轮轴工作，产生正弦激励信号模拟路面谱系，通过控制MRD，观测“悬架系统”对正弦激励信号的衰减程度。因此，要求实验台控制系统具有闭环稳定性。

MRD减振实验台大部分零部件质量和相关参数可精确测量。因其自身非线性物理特性的影响，使MRD的刚度在运动过程中为时变参数，可通过实验测量MRD刚度的上下界值。当实验台工作时，MRD相关参数将包含于有界闭区间内。因此MRD减振实验台是一类典型的参数依赖不确定性系统，应用凸包技术可有效解决参数的不确性问题［14］。

MRD减振实验台的动力学模型如图3所示。图中:m1、K1和C1为1/4悬架系统的质量、刚度和阻尼;m2、K2和C2为1/4轿车车身的质量、刚度和阻尼;m3、K3和C3为驾驶员座椅的质量、刚度和阻尼;z1、z2和 z3分别是m1、m2和 m3的对应质量块位移;F为可控磁流变阻尼力;Sat(w)为参数z0的饱和扰动输入;z0为路面对悬架系统的位移激励。建立MRD悬架系统的动力学状态方程［1－2］:

式中:A为系统矩阵;B为输入矩阵;Bw为扰动输入矩阵;x(t)为系统状态变量;w为地面谱系扰动输入;F为控制对象输入量，即可控磁流变阻尼力。

2 MRD悬架系统稳定性分析

通过实验测量MRD悬架系统中相关的参数值，如表1所示。

表1 MRD悬架系统相关参数值

MRD悬架系统中参数K2为时变参数且有界，因此系统矩阵 A为时变参数矩阵:A(K2)∈［A1，A2］，A1=A(K2min)，A2=A(K2max)。系统的稳定性与外界输入无关，令扰动输入为零(w=0)，则式(2)改写为

式中:Ai、B表示MRD悬架系统为时变参数K2的顶点矩阵，因此不确定系统(式(3))包含于由“2”个顶点所构成的有界凸多面体区域内。

反馈控制律为

式中:K∈R1×6为反馈控制矩阵。

2.1 预备知识和饱和输入处理方法

对于给定矩阵K∈R1×6。因为矩阵K为单行矩阵，因此可根据文献［10］～文献［13］，定义凸多面体区域为

式中Fsup和Finf分别表示可控磁流变阻尼力上下界，如果F=Kx(t)不在饱和区内时，饱和函数Sat(·)将其输入量强制等于 －min(|Fsup|，|Finf|)或min(|Fsup|，|Finf|)，且 x(t)∈L(K)。为便于分析，将式(5)转化为标准饱和函数:

定义包含x(t)的子空间:

式中:P=PT＞0，P∈R6×6，ρ∈R。ε(P，ρ)为椭球体。

则表示椭球体ε(P，ρ)包含于对称凸多面体L(K)内。

根据文献［12］中的引理2，文中可控磁流变阻尼力饱和项可表示为

式中:H∈R1×6为反馈附加矩阵;Dj矩阵等于“0”或“1”;而称为Dj的补矩阵，即=1－Dj;

引理1(Schur补引理)对于给定的对称矩阵，其中 S11∈Rr×r，以下 3 个条件是等价的

根据式(9)，MRD悬架闭环控制系统可表示为

通过式(9)把式(3)具有饱和不确定性系统转化为式(10)线性系统，进而可通过矩阵不等式技术处理MRD悬架系统的稳定性。

2.2 控制器设计和吸引分析

定义Lyapunov函数:v(t)=xT(t)Px(t)，PT=P＞0。根据Lyapunov函数稳定性理论要求:

将式(10)带入式(11)得

式(12)成立的充分必要条件是:

若吸引域由ε(P，ρ)表示，则存在一个微小的椭球体与ε(P，ρ)在结构上保持一致，称该微小椭球体为吸引域的形状参考集［15－16］。

给定参考向量 xR∈R6×1，θ⊂R6×1为状态空间。

显然式(14)表示xR空间被压缩α倍。因此，αxR⊂ε(P，ρ)。当 α 取得最大值时，形状参考集将接近最大吸引域。

MRD悬架系统反馈控制器和最大吸引域，可通过求取下列矩阵不等式最优解获得

形状参考集属于吸引域，即:αxR⊂ε(P，ρ)。可知α2xP/(ρxR)≤1，根据引理1可得

当α2逐渐增大，则形状参考集将逐步接近最大吸引域。令 β =1/α2，式(16)转化为

对式(15)第2个不等式约束条件两边同乘以P－1，并乘以 ρ 得:

根据式(6)可知L(H)可表示为

式(15)中第3 个约束条件 ε(P，ρ)⊂L(H)，可等价地表示为

根据引理1，式(20)可转化为

为求最大吸引域和MRD控制系统闭环反馈控制器，可用LMI求解式(17)、式(18)和式(21)约束条件最优解β，进而可求解出反馈控制器和最大吸引域。

3 数值仿真

根据表1可知MRD的刚度为时变参数且有界，则饱和不确定MRD悬架系统的顶点矩阵为

式(18)中D1=0，D2=1。令式(17)、式(18)和式(21)中Q=(P/ρ)－1，式(18)中Z=HQ，Y=FQ，根据文献［15］～文献［17］，选取形状参考集为

其中ϑi∈［0，2π］，为寻找最大吸引域，选取步长为0.05π，使其ϑi从0到2π遍历，可得到最优解。通过Matlab解式(22)LMI优化问题得

闭环控制系统的吸引域，可由代数方程描述为

对于任意系统状态变量满足式(23)，则表示系统状态变量位于吸引域中。MRD悬架闭环控制系统在吸引域内具有局部指数稳定。

MRD控制系统的数值仿真如下。

在参数矩阵凸空间中任取一点，系统时变参数矩阵可被描述为

MRD悬架系统开环数值仿真结果如图4所示，相当于传统的被动悬架减振系统。系统状态变量x1、x2和x3在系统稳定时收敛到“0”点(对应质量块的速度);系统状态变量x4、x5和x6分别是模型对应质量块的位移，在系统稳定时因重力影响收敛到0.2附近，符合实际系统为惯性系统的特点。

闭环系统数值仿真结果如图5所示，6个状态变量全部稳定收敛到0.2，闭环系统的超调量和协调时间都明显优于开环系统。

数值仿真结果表明，MRD悬架系统减振效果明显优于传统悬架系统，证明了该算法的有效性。

4 结论

MRD的优良物理特性可提高汽车的行驶平顺性和舒适性，但其强非线性限制了MRD在实际工程中的应用。本文中提出的饱和模型弱化了Bouc-Wen模型的强非线性，同时通过凸包技术将饱和非线性模型线性化，依据Lyapunov函数稳定性理论分析了MRD悬架系统的稳定性，设计出的反馈控制器同时获得了最大吸引域。数值仿真结果表明，MRD悬架系统减振效果明显优于传统悬架系统。

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