改进的OPAST算法及其在盲多用户检测中的应用

王 豪，张 捷，任松育

（西北工业大学 电子信息学院，陕西 西安 710129）

子空间分解是自适应阵列信号处理的重要工具，它广泛应用于数据压缩，系统鉴定，数据滤波，参数估计，模式识别等领域。在基于智能天线的DOA估计中也有重要的应用[1]，基于子空间的高分辨的方法已经成功地运用于时间上的和空间上的主谱分析，典型例子如：多重信号分类（MUSIC），最小模估计方法，旋转子空间（ESPRIT）估计，加权子空间拟合（WSF），基于KL变换的数据压缩等。近年来，子空间跟踪的方法得到了迅速发展，大致可以分为3类：1）对ED/SVD进行改进；2）秩 1扰动更新方法的变形；3）将 ED/SVD看成是最优化问题。Bin.Yang提出的PAST算法属于第3类，是其中鲁棒性和有效性最好的方法之一[2]，然而在某些情况下，PAST算法不收敛，针对这一问题，K.Abed-meraim等提出了正交的PAST（OPAST）算法，它保证了权向量在每次迭代的正交性，并具有和PAST算法一样的线性复杂度，和自然幂法[3]一样的全局收敛性。

OPAST算法与ED/SVD算法相比具有较低的计算复杂度，以及它自身的自适应性，使它更适用于实时信号处理。多用检测技术是3G以及4G的关键技术，盲多用户检测[4]是多用户检测中的一种，它仅仅利用特征波形先验知识和感兴趣用的用户定时模式来检测用户信息，是目前多用户检测的主要发展方向。文中将OPAST算法应用于盲多用户检测中，通过仿真实验发现，在迭代一定次数后，会出现误码率变大的现象，为了解决这一问题，文中提出了一种方法，并通过仿真实验得以证明。

1 信号模型与子空间分解

对于一个具有K个用户的同步DS-CDMA通信系统[5]，在具有高斯白噪声的信道中，经过码片匹配滤波器和码片速率采样后，在一个符号间隔内，接收端的输出样本为一个N维向量：

为了方便和不失一般性，假设K个用户的扩频码都是线性独立的。 记：S=[s1，s2，…，sK]，接收数据的自相关矩阵为：

对矩阵Cr进行特征值分解：

其中：U=[Us，Un]；Λ=diag（Λs，Λn）；Λs=diag（λ1，λ2，…，λK）含有 Cr的 K 个最大的特征值；Us=[u1，u2，…，uK]中为相应的正交特征向量；Λn=diag（λK+1，λK+2，…，λN）中为相应的正交特征向量。 range（Us）为信号子空间，它的正交部分range（Un）为噪声子空间。其中Us和Un都是酉矩阵。

2 OPAST算法

B.Yang提出的投影近似子空间跟踪算法 （简称PAST）的思路是把信号子空间的跟踪转化为非约束最小化问题。它通过预测逼近将最小化问题简化为指数加权最小二乘问题。它是所有子空间跟踪算法中健壮性最好，效率最高的算法之一，计算复杂度为O（nr），其中n为向量序列的维数，r为子空间的维数。

r表示n×1随机向量，令C=E{rrT}为r自相关矩阵，目标函数定义为

目标函数可以用迹函数表示如下：

式中，W是n×r矩阵，假设其秩等于r，Tr（）表示矩阵的迹。

下面考虑极小化问题min J（W）。与之相关的重要问题是：

1）是否存在J（W）的全局极小点W？

2）该极小点W与自相关矩阵C的信号子空间有何关系？

3）是否存在J（W）的其他局部极小点？

Yang证明了下面的定理[6]：

定理1 W是J（W）的一个平稳点，当且仅当W=UrQ，其中Ur∈Cn×r有自相关矩阵C的r个不同的特征向量组成并且Q∈Cr×r为任意酉矩阵（酉矩阵即复数域的正交矩阵）。在每一个平衡点，目标函数J（W）的值等于不在Ur的那些特征值之和。

定理2 目标函数J（W）的所有平稳点都是鞍点，除非Cr由自相关矩阵C的r个主特征向量组成。在这一特殊情况下，J（W）达到全局最小。

在某些情况下，PAST算法没有收敛性，为了减轻这一缺陷，更重要的是为了保证在每次迭代时，权向量的规范正交性，K.Abed-Meraim等人提出了一种新的方法：OPAST（Orthonormal PAST）。 OPAST算法和PAST算法有一样的线性复杂度O（nr），n为向量序列的维数，r为主子空间的维数。OPAST算法还具有规范正交性和全局收敛性。

OPAST算法在PAST算法的基础上，在每次迭代时对权重向量做规范正交的处理：

（由于W（i）HW（i）=I，所以上式成立）。

其中，（W（i）HW（i））-1/2指的是W（i）HW（i）=I的逆的平方根。为了计算后者，使用W（i）的迭代方程，此时W（i-1）已经是规范正交矩阵：

由式子（6）和（10），以及W（i）的迭代公式得：

其中：

因此OPAST算法可以写成如下形式：

选择初始化W（0）和Z（0），以及β

3 基于OPAST算法的盲多用户检测

假设待检测用户为用户1，一个线性MMSE检测器，解调第1个用户数据的解调向量为w，则判决器的输出为

其中：w∈RN。在约束条件wTs1=1下，最小化MSE（w ）=E（（A1b1-wTr）2），用信号子空间参数表示可得到（4）式中的MMSE检测器w为

这里要计算w，需要知道Us、Λs，然而OPAST算法只能计算Us，要想把OPAST算法应用于盲多用户检测中，需要进行数据压缩操作。经数据压缩后，w为如下形式：

基于OPAST的盲多用户检测算法的步骤如下：

4 仿真实验及改进的OPAST算法

对于一个具有高斯白噪声的DS-CDMA系统，用户数为8，目标用户为用户1，其余用户为干扰用户，每个用户的采用31位的Gold扩频码，目标用户的信噪比为25 dB，目标用户的功率为1，干扰用户的功率相同。

将OPAST算法应用于多用户检测中，发现在迭代5 000次左右时，会出现误码积累的现象，误码率会突然上升（如图1所示）。究其原因，OPAST算法中要求Z（i）是求逆后的对角元素表示信号子空间的K个最大的特征值，其初始值为Hermitian正定矩阵，仿真实验中，以实信号为例，故Z（i）为实对称正定矩阵。在计算过程中由于误差的存在，使求出的Z（i）不满足实对称正定的性质，从而导致了在迭代若干次后误码率增大的现象。

图1 改进前的OPAST算法的berFig.1 Ber of unimproved OPAST algorithm

为了解决这一问题，文中提出将求出的Z（i）的上三角和下三角相加除以2得到上三角，再将上三角赋值给下三角的方法，仿真结果如图2所示，这种方法有效地解决了上述问题。通过将上下三角部分加权求平均值，可以有效地减小由只算上三角部分或只算下三角部分所带来的误差。

图3所示结果为改进前和改进后的OPAST算法的sinr比较，两者基本相当，表明改进后的OPAST的sinr性能没有下降；图4为改进后的OPAST算法与PAST算法的比较，OPAST算法要在sinr性能方面优于OPAST算法。

图2 改进后的OPAST算法的berFig.2 Ber of improved OPAST algorithm

图3 改进前和改进后的OPAST的sinrFig.3 Sinr of unimproved and improved OPAST

图4 改进后的OPAST算法与PAST的sinr比较Fig.4 Sinr of improved OPSAT and PAST

5 结束语

文中提出的改进的OPAST算法，解决了误码率在迭代一定次数后上升的问题，误码率性能得到提升，信号干扰噪声比性能与改进前相比基本不变，经过改进后的OPAST算法将更适应于实时信号处理。

现在的子空间跟踪算法，普遍只能跟踪信号子空间，而不能跟踪特征值，使用ED/SVD方法可以得到特征值和特征向量，但其计算复杂度太大，不适合实时信号处理，且不具备自适应性。对既可以跟踪特征值又可以跟踪特征向量的子空间跟踪方法的研究将成为今后的热点。

[1]钱林杰，程翥，石斌斌，等.一类子空间跟踪方法的改进[J].信息处理，2010（5）：741-745.

QIAN Lin-jie，CHENG Zhu，SHI Bin-bin，et al.Improvement of a kind of subspace tracking methods[J].Information Processing，2010（5）：741-745.

[2]Yang B.Projection approximation subspace tracking[J].IEEE Trans Signal Processing，1995（44）：95-107.

[3]HUA Y，CHEN T，MIAO Y.A unifying view of a class of subspace tracking methods[J].In ISSPR’98，1998（2）：27-32.

[4]马建仓.盲信号处理[M].北京：国防工业出版社，2006.

[5]Wang X，Poor H V.Blind multiuser detection：A subspace approach[J].IEEE Trans.Inform.Theory，1998，44（2）：667-691.

[6]Yang B.Projection approximation subspace tracking[J].IEEE Trans Signal Processing，1995（43）：95-107.