基于MATLAB／Simulink的轮胎对路面的动态作用力分析＊

朱云升 向会伦

（武汉理工大学交通学院 武汉 430063）

行驶在路面上的车辆轮胎施加在路面上的荷载是不断变化的载荷［1－2］，即动荷载.主要受到路面平整度和车辆悬架与轮胎参数等的影响［3］.因此，在进行路面力学响应分析时，为了能够更准确的分析路面的力学响应，必须采用动态荷载形式.但是，由于路面不平度随机性，不能用一个确切的函数表达，使得轮胎作用于路面的作用力不能用一个确切的函数表示.本文利用MATLAB／Simulink来仿真路面不平度，并结合结构动力学原理，仿真轮胎对路面的动态作用力.

1 轮胎－路面耦合动力模型

目前车辆与路面的动力模型很多，主要有2自由度汽车模型；4自由度、5自由度模型和7自由度、17自由度的整车模型［4］.由于对路面力学响应进行研究，只需要求得由于路面不平度引起的动载荷对路面力学响应的影响，因此本文采用1／4车的2自由度模型，模型只考虑悬架系统和轮胎的竖直向运动，忽略了各质量块绕各轴的转动，见图1.

图1 2自由度车辆模型

图中：m为悬架以上部分的汽车的质量；m0为轮胎的质量；k1，c1分别为车辆悬挂系统的刚度和阻尼；k2，c2分别为轮胎的刚度和阻尼；y1（t），y2（t），y3（t）分别为车身位移、轮胎位移和路面表面波动方程，为简化起见，下文的推导中都简写为：y1，y2，y3.根据拉格朗日原理（Lagrange Principle），即可求得2自由度模型的动力模型.

系统的动能为

系统的耗散函数为

系统的势能为

根据拉格朗日原理［5］

可得动力车辆的动力方程为

本文选取的车型为现行规范规定的标准车型黄河JN－150，根据文献［6］标准车型的悬挂系统的质量m为4 500kg，车轮的质量m0为500kg.

2 模型的参数确定

2.1 悬架系统参数确定

根据文献［7］，汽车的悬架刚度与车身的垂向振动频率以及悬挂质量有如下的关系

式中：g为重力加速度；G为悬架的重力，N.

货车的车身垂直振动频率为f＝1.5～2.2Hz，因为本文所选的黄河JN－150属于中型货车，所以选取中值，即f＝1.85Hz.由式（6）可得k1＝0.61×106N／m.

本文中所采用的阻尼器为线性阻尼器，根据结构动力学可知，阻尼的大小可以用相对阻尼来ζ评价

由于不同刚度和不同质量的悬架系统匹配时会产生不同的阻尼效果影响汽车行驶的平顺性.对于无内摩擦的弹性悬架，取ζ＝0.25～0.35，对于有内摩擦的钢板弹簧悬架，相对阻尼可取小些，后悬架的可以稍大些.所以本文取ζ＝0.3.联合式（6）和式（7）即可得c1＝3.14×104N·s／m.

2.2 轮胎动力参数确定

轮胎的刚度包括径向、侧向、切向刚度，因为本文只考虑轮胎的竖向位移，故文中轮胎的刚度均为径向刚度.对子午线来讲，随着车速的增加轮胎刚度k2增加是很小的（从0～100km／h，仅增加6%）［8］.所以完全可以用轮胎静止时的刚度.根据文献［6］，标准车型轮胎的刚度系数k2＝1.9×106N／m，阻尼系数c2＝3×103N·s／m.车辆动力学方程的基本参数见表1.

表1 车辆动力学基本参数

3 路面平整度的计算

3.1 路面不平度表达

路面的不平整性会引起行驶车辆的振动，从而产生动荷载.大量的试验测量表明，路面不平度是具有零均值、各态历经的平稳Gauss随机过程［9］.根据《车辆振动输入－路面不平度表示方法》GB7031－86，工程实际中通常用功率谱密度来描述路面的统计特性，路面不平度的功率谱密度需要拟合才能得到，其拟合表达式为

式中：n0为参考空间频率，n0＝0.1m－1；Gy（n0）为路面不平度系数（参考空间频率n0下的路面功率谱密度），取决于公路的路面等级，m2／m－1；w为频率指数（双对数坐标上斜线的频率），决定路面功率谱密度的频率结构，w＝2.

国标按路面的功率谱密度把路面由平整路面到粗糙路面依次分为A～H 8级，并规定了各级路面的路面平度系数值范围及平均值，详见国家标准.

3.2 路面不平度的计算

路面不平度用一个功率谱密度为有理函数形式的各态历经正态平稳的随机过程表示，记为［10］

该过程满足

数学期望为

功率谱密度为

式中：n为空间频率，波长λ的倒数（每m长度中包含的周期数），m－1；δ为路面高程的方差；β为自协方差衰减系数（拟合系数）.

满足上述功率谱密度的路面，可利用白噪声通过一阶成型滤波器描述，其时间状态的微分方程为

式中：w（vt）为白噪声信号；v为车速.

式中：λ为波数；λ0为截止波数；Rc为与路面有关的系数.

文献［11］基于有理数功率谱密度建立路面不平度的输入模型为

式中：f0为下截止频率；Gy0（n0）为路面不平度系数；w（t）为均值为零的白噪声.

为与国标路面不平度8级分类标准对应，吴志成等人［12］将式（14）表达为

式中：y（t）为路面不平度位移输入；v为车速；Gy（n0）为路面不平度8级分类标准中规定的路面不平度系数几何平均值；w0（t）为协方差为1m2／s的单位白噪声；γ为待定系数.

进一步通过调整白噪声的功率，将路面不平度简化为

因此利用式（16）仅需一个单位协方差白噪声和路面分级标准中规定的路面不平度系数的几何平均值，即可对路面分级标准规定的路面不平度进行时域模拟.

(5)配件的口径一般与所安装位置的管道管径相同，但调节阀、减压阀、平衡阀、安全阀等阀件要根据介质的温度、流量、压力等参数进行计算方可确定其口径。

4 轮胎对路面的动态作用力计算

根据式（16）并参照文献［12］即可利用MATLAB／Simulink中的仿真分析工具箱建立路面不平度的仿真模型，即可求出路面不平度.

由图1，不难看出，考虑路面不平度后的车辆作用于轮胎的动荷载为

式中：以竖直向上为正向.

为了便于求解车辆作用于轮胎的动态力的求解模型，对式（5）进行变换，可得

令z1＝，z2＝，则＝，＝，将式（18）表达为t，y1，y2，z1，z2的函数

利用四阶 Runge－Kutta法［13］解式（19）即可求得y1，y2.求解原理为

将式（15）求解出的y3和式（19）、式（20）求解出的y2代入式（17）即可计算出车辆作用于轮胎上的动态力.

本文利用 Matlab／Simulink［14］按照上述原理建立路面不平度的仿真模型，并在此基础上建立作用于轮胎的动态作用力仿真模型，由于篇幅有限，模型图省略.

5 算 例

现行国家标准按照功率谱密度，公路路面分为A～H 8个等级.其中：A级路面为新修建的路面；B级为在正常使用期的路面；C级为达到使用期的路面.所以本文主要研究A，B，C 3个等级的路面动载.根据国标，A，B，C级高速公路的路面平度系数的平均值为1.6×10－5，6.4×10－5，1.28×10－6m2／m－1.

我国现行规范限定高速公路行车的最大车速为120km／h，山区高速公路的一般设计车速为100km／h.高速公路上，货车占很大比例，由于货车性能以及道路状况、超载等，致使货车速度比高速公路设计车速低很多.现在，货车的允许车速一般为75～100km／h［15］.为使研究结果具有普遍性，选用计算车速为85km／h（即23.6m／s）.

图2 B级路面不平度的仿真结果

图3 轮胎对A级路面的动态作用力

图4 轮胎对B级路面的动态作用力

图5 轮胎对C及路面的动态作用力

图2 是B级路面的不平度仿真结果，图3～5分别为轮胎对A，B，C级路面的动态作用力仿真结果.可以看出：（1）由图2可知，路面不平整度是期望为零的各态历经的平稳Gauss随机过程，无法用一个确切的函数表达式去描述；（2）由图3～5可以看出，车轮对路面的动态力不是静态时恒定的50kN，而是不断变化的随机动态作用力，最大竖向荷载压力明显大于静载作用力.也满足各态历经的平稳随机过程，也无法用一个确切的函数表达；（3）随着路面等级的下降，路面动态荷载作用表现更为明显.波动的频率和幅值都明显增大，A级路面的最大竖向压力达到了87.61 kN，达到了静态荷载作用的1.75倍，B级路面的最大竖向压应力为88.46kN，为静态作用荷载的1.77倍，C级路面的最大竖向压应力为93.57 kN，为静态作用荷载的1.87倍.但是，3种路面的动荷载均值变化不大，均维持在53～54kN.

6 结 论

1）路面的不平整度是符合期望为零的各态历经的平稳Gauss随机过程，无法用一个确切的函数表达式来描述.

2）由于路面不平度的影响，形势状态下的车辆轮胎作用于路面的作用力并非是恒定不变的，而是均值大于静载的不断变化的随机动态作用力.动态作用力的幅值明显大于静态作用力，在进行路面受力分析时，必须考虑这种动态作用的影响.

3）随着路面等级的下降，路面动态荷载作用表现更为明显.波动的频率和幅值都明显增大.

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