有限元领域中面向圆柱扫掠面特征的替换策略研究

刘晓平， 李 丹， 金 灿， 李书杰

（合肥工业大学计算机与信息学院可视化与协同计算(VCC)研究室，安徽 合肥 230009）

在使用专业的有限元分析软件分析模型的 过程中，如果模型包含一些复杂特征，会消耗大量的计算资源，甚至会导致问题过于复杂而不可解[1]。实际上，在一次分析过程中，分析人员并不是追求无限精确的分析结果，因此通常可以根据需要对有限元模型进行简化[2-3]。

国内外研究人员在模型简化方面做了很多工作。文献[4]提出对应力分布只产生较小局部影响的特征删除，对于具有几何和约束（包括载荷和边界条件等）对称的物体进行对称性简化。Belaziz[4]等提出基于语义信息的处理方法，通过特征删除简化模型，特征降维优化模型。Lee[5-6]提出一种CAD/CAE一体化的方法，根据不同的LOD和LOA标准，通过对细节特征的删除以及降维，可以为 CAE建立具有不同的细节层次和抽象层次的模型。但是，对于模型中体积较大且由于分析领域不能被删除或降维的特征，仅根据特征删除和特征降维是难以处理的[7]，此类特征包括体积较大的扫掠特征。

针对这一问题，作者所在团队提出了多态的概念，即用来表述复杂模型由于模型精度、计算时间、计算精度的变化而产生的多种状态，指导用户简化已建模型，选择最合适计算的模型态，从而达到事半功倍的效果。有限元软件为了提高网格对模型表面的拟合程度，通常会在曲率较大的区域加大网格密度，鉴于有些曲面上的网格密度大小对计算结果的影响并不明显，因此降低这些不必要的网格密度，可以减少单元数量，缩短计算时间。本文通过研究多态模型理论，提出了一种针对模型中常见的圆柱扫掠面特征进行处理的模型简化方式：特征替换，以确保在一定的分析精度下节省计算资源，提高计算效率，并在此基础上，通过实例验证了方法的有效性。

本文称曲率较大的特征为高曲率特征。扫掠特征则是指将一个二维曲线（扫掠轮廓）沿一个路径运动或沿一条轴线旋转而形成的特征，当扫掠轮廓的曲率较大或扫掠路径曲率较大时，所形成的扫掠特征曲率也较大，属于高曲率扫掠特征。

本文的组织如下：第1节根据模型的特征曲率与网格直径的关系提出了圆柱扫掠面特征的替换原则；第2节介绍了圆柱扫掠面特征的替换算法流程；在此基础上，第3节通过热分析领域中的仿真实验，验证了结论的有效性；最后对本文的内容进行总结。

1 圆柱扫掠面特征的替换原则

1.1 特征曲率与网格直径的关系

根据分析对象的几何特征进行网格控制，主要是指根据网格对模型表面的拟合程度决定网格直径的大小。网格对模型表面的拟合程度的估算是通过曲面参数方程求出参数域中三角形顶点在曲面上对应点的外法矢量的夹角来近似表示。以三角网格为例，如图1所示，对于用来调节网格密度的容许误差ε，则要求每一对外单位法矢量都满

当用网格剖分算法对模型表面某一局部区域ΔS进行剖分时，则在以r为半径的球面上考虑ΔS上的网格直径。设△ABC为一三角网格，因球面上处处法曲率相同，所以△ABC为等边三角形，不失一般性，以边AB讨论△ABC的边长。

设在坐标系XOY中，A, B的距离即网格直径为h，平均法曲率为ρ，则当ε一定时，有

由此可知，当ε一定时，网格直径和模型表面曲率成反比例关系，因此要反映分析对象的几何特征，需要在高曲率曲面处加大网格剖分密度，从而增大了网格剖分的难度和计算量。折面是由一系列平面构成的，平面的曲率为0，由式(1)可知平面上的网格直径将不再取决于对平面的拟合程度，而应取决于用户指定的最大网格直径或平面上任意两点的最短距离，而最大网格直径和平面上任意两点的最大距离均可以人为控制，因此采用折面替换圆柱面可以起到控制原高曲率曲面处网格直径的效果，从而可以降低网格剖分密度，节省计算资源。

1.2 圆柱扫掠面特征的替换原则

高曲率扫掠特征是指特征表面曲率大于一定曲率阈值的扫掠特征，上文中已指出网格的疏密程度反应网格对模型的拟合程度，因此本文引入用来控制网格密度的容许误差ε来表征网格的疏密程度。

设用户输入的网格密度的容许误差为ε，则根据式(1)知在曲率为ρ的曲线段处网格直径应满足若用户能接受的最小网格直径为时，此曲线段被认为是高曲率曲线，此时所以对于曲率大于的曲线扫掠生成的特征均认为是高曲率特征。

图1 模型表面曲率和网格直径之间的关系

首先介绍一个定理，该定理指出了对圆进行替换的正多边形的边数的上限。

定理 1 若网格密度的容许误差为ε，对于圆柱扫掠面特征，若用正n边形替换，则

证 明 如图 2所示，设扫掠面的曲率为ρ，则半径r=1/ρ。在替换前，此扫掠面上的网格直径应满足用正n边形替换该扫掠面后，生成的网格直径为 h ′ = 2 rsinθ=2rsin(π/n)。由于特征替换是为了节省计算时间，那么替换后网格密度降低，网格直径增大，所以应有h′≥h，即

曲面的夹角过小也会引起网格剖分质量降低，因此本文设定折面间夹角不小于90°，若用正n边形替换，则n的最大值为并且根据折面间夹角不小于90°，应有n≥4，解得ε≤1。假定在网格密度最大的情况下，所有圆柱扫掠面特征均可以用四棱柱替换。当ε= 0 .098时，n的最大值为14，且根据实际经验，对圆柱扫掠面特征用正十四边形替换后，与替换前网格直径改变量不大，因此，本文将ε= 0 .098设定为网格最密的情况，用户输入的ε值的范围是[0.098,1]。

图2 网格密度和多边形边数的关系

2 圆柱扫掠面特征简化算法

圆柱扫掠面特征替换步骤示意图如图 3所示，该系统首先接收用户输入的初始模型，然后对模型进行特征识别，识别出初始模型中的所有圆柱扫掠面特征，针对不同的问题，由用户对识别出的圆柱扫掠面特征进行特征过滤，将无需替换的圆柱扫掠面特征过滤掉，最后通过特征替换算法，用折线扫掠特征替换圆柱扫掠面特征。

圆柱扫掠面特征替换算法的步骤如下：

Step 1 用户提供待简化模型并输入最小网格直径hmin和网格疏密程度ε；

Step 2 由特征识别模块进行特征识别，识别出模型中所有的圆柱扫掠面特征；

Step 4 根据曲率阈值ρ0筛选出待简化的s个高曲率扫掠特征，设特征集合为

Step 5 对于每个特征 fi∈F，计算其包围盒 B ox( fi)，若该包围盒与载荷区域相交，则过滤掉 fi，反之则保留 fi，最终形成m个待简化特征，记待简化特征集为m≤s；

Step6 对于F0中的每个圆柱扫掠面特征f0i，计算其扫掠弧长li及半径 ri，并计算出其扫掠弧度αi= li/ri；

Step7 对于F0中的每个圆柱扫掠面特征f0i，设替换模型的边数为ni，计算出αi=2π时简化模型的边数n，，若αi∈(0,2π)，则最终的简化模型的边数应为

Step 8 根据ni的值，替换F0中所有的圆柱扫掠面特征，并输出简化后的模型。

3 应用实例

3.1 实验说明

多态模型理论必须依靠大量科学计算试验来验证其理论可行性及正确性。根据提出的方法，在含不同特征的模型上进行实验，以此来验证方法的正确性并指导模型简化工作，提高科学计算效率。

本文利用科学计算软件ANSYS对模型进行热分析计算，文中所使用的模型得到了合肥工业大学机械与汽车工程学院的技术支持。

在实验中，以热分析领域的稳态热传导过程为分析对象，在设置不同的载荷和边界条件下针对不同种类的特征进行分析计算，求出模型上的相应量。实验中的单元设为专用于热分析的SOLID70单元，网格划分使用Smart Meshing划分为三角形网格，网格密度设置为3，网格直径设置为1。各种属性的具体值设置如表1所示。

表1 材料在热领域中的各项参数

图3 特征替换步骤示意图

3.2 实验模型及结果

本实验以两个零件模型：模型I和模型II为例，如图4所示，模型I的初始模型含有两个圆柱负特征，假定用户输入的网格密度的容许误差为0.25，则应该用两个八棱柱特征替换这两个圆柱负特征，模型II的初始模型在非载荷区域内含有11个圆柱特征，其中有7个高曲率圆柱负特征，假定用户输入的网格密度的容许误差为0.5，则应该用7个六棱柱特征替换这7个高曲率圆柱负特征，模型中灰色部分表示的是载荷面（添加温度和热对流载荷），实验以零件的网格数量和热流率为求解目标，验证结论的有效性。实验结果如表2所示。

图4 实验模型及特征替换后模型

表2 原模型和替换后模型比较

从表2可以看出，替换后模型I的单元数大约降低了50%，替换后模型II的单元数大约降低了20%，而模型I的热流率误差约为0.2%，模型II的热流率误差约为0.04%。由此可见，在确保一定分析精度的条件下，将模型中圆柱扫掠面特征用折面特征替换可以大幅度减少有限元网格数量，从而节省计算资源，提高计算效率。

4 结 论

对模型进行特征替换的处理方式可以看作在有限元领域中除特征删除、特征降维和对称性简化3种处理方式外的一种新的特征处理方式。本文通过研究扫掠路径的曲率与网格直径的关系，探索圆柱扫掠面特征的合适替换策略，在确保结果精度需求的基础上，尽可能减少计算资源的消耗。文章的最后通过两个实例，以有限元热分析领域为切入点进行了仿真实验，通过计算初始模型和替换后模型的单元数和热流率，证明了在一定的误差范围内，采用本文的方法可以节省大量的计算资源，验证了结论的有效性。

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