函数的加权积分平均不等式①

李俊峰

(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000)

0 引言及预备知识

本文给出了加权积分平均空间上H¨older不等式和Minkowski不等式，这两个不等式在分析学中具有重要意义.

定义1 设E为L可测集，f(x)是(X，μ)上的可测函数，1 ≤p＜∞ ，令Np，ω(f)=，其中 ω(E)=∫Eω(x)dμ，ω(x)＞0，a.e.于x∈E.我们称Np，ω(f)为f(x)关于E和p的加权平均值[1].

注:记Np，ω(f)＜∞ 的f全体所构成的集合为Np，ω，并称它为加权积分平均空间.

引理1[2]设1 ≤p，q≤ ∞=1，则对任意的a，b∈R，有

1 主要结果及证明

定理1(加权积分平均H¨older不等式)设1≤p＜∞=1，又设f∈Np，ω，g∈Nq，ω，则fg∈N1，ω，并且N1，ω(fg)≤Np，ω(f)Nq，ω(g).

证明: 首先设Np，ω(f)=Nq，ω(g)=1(否则f，g可分别用代换)，由上面的引理 1，可令a=f(x)，b=g(x)，则

两边乘以ω(x)＞0，a.e.并且在E上积分后同乘以可以得到

由假定f∈Np，ω，g∈Nq，ω，可知Np，ω(f)，Nq，ω(g)∈[0，∞)，由上面可以推知fg∈N1，ω.故定理得证.

定理2 (加权积分平均Minkowski不等式)设f，g∈Np，ω，对1 ≤p＜∞ ，则有f+g∈Np，ω，且Np，ω(f+g)≤Np，ω(f)+Np，ω(g).

证明: 若p=1或f+g=0a.e.于E，则不等式显然成立;若1＜p＜∞ ，设f，g∈Np，ω，h=|f+g|，则

然后两边同乘以ω(x)＞0，a.e.并在E上积分后同乘以得到

注意到1＜p＜∞ 时，y=xp是(0，∞)上的凸函数.于是有

于是从上式可以推断f+g∈Np，ω.

又由p=(p－1)q和加权积分平均H¨older不等式得

定理得证.

[1]匡继昌.常用不等式(第三版)[M].济南:山东科学技术出版社，2004.

[2]DiBenedetto，E.Real Analysis[M].Beijing:Higher Education Press，2007.