两种形式的竖曲线计算方法及结果分析

黄庆祥

(山西省交通科学研究院，山西太原 030006)

0 引言

公路路线纵断面为沿道路中线竖直剖切后的展开线，在纵断面的纵坡变更处，采用竖曲线进行缓和，其计算形式有二次抛物线和圆曲线两种。JTJ 011-94公路路线设计规范(以下简称《旧规范》)中规定一般采用二次抛物线或圆曲线［1］;而JTG D20-2006公路路线设计规范(以下简称《新规范》)中规定宜采用圆曲线。但在《新规范》的条文说明中明确在实际设计工作中，可根据计算的方便，采用抛物线或圆曲线［2］。

一般认为两者的差别很小，但在前后坡差较大的情况下，如低等级公路中，两者的差距亦应引起实际设计者的注意。

1 两种形式竖曲线的计算方法

1.1 抛物线式的竖曲线计算

如图1所示，建立xoy坐标系。i1，i2分别为相邻两纵坡坡度，规定上坡为正，下坡为负，其代数差值i2－i1用ω表示。当ω＞0时为凹型竖曲线，当ω＜0时为凸型竖曲线。

可以求得二次抛物线式的竖曲线一般方程:

从而，抛物线上的任一点的曲率半径:

由式(3)可知，抛物线上任意一点曲率半径均是变化的，但对于抛物线顶点i=0，则:

其中，R即竖曲线的半径，将式(4)代入式(1)得:

式(5)即实际工程设计中二次抛物线竖曲线的基本方程。其有以下特性:

1)切线长T1=T2=L/2;

2)曲率逐渐缓和变化，行车较为舒适。

1.2 圆曲线式的竖曲线计算

如图2所示，建立xoy坐标系。图中各参数含义与抛物线中对应参数的含义相同。

由图2可得:

设圆曲线的圆心为o'(图中未示)，则有:

可以求得圆曲线式竖曲线的一般方程:

由式(9)可得:

将式(7)和式(8)代入式(10):

式(7)～式(11)中，对于i1，i2的正、负关系进行相应组合的时候，相关参数的正、负号亦不相同，本文不做深入探讨。

图2 圆曲线式竖曲线计算示意图

式(11)即实际工程设计中圆曲线式竖曲线的基本方程。其有以下特性:

1)一般情况下切线长T1≠T2;

2)曲率一致，施工方便。

表1 各级公路选取设计速度及对应最小半径与竖曲线长度

2 两种形式竖曲线计算结果

2.1 计算参数选定及计算方法［3］

《新规范》中规定，各级公路对应不同的设计速度、不同的竖曲线最小半径与竖曲线长度。而最小半径对应的条文说明中指出，为了行车安全和舒适，竖曲线半径应采用表1中所列“一般值”的1.5倍～2.0倍或更大值［2］。本文将选取各等级公路取有代表性的设计速度进行对比分析。竖曲线半径R除选择设计速度对应的一般值 RN和极限值 RL外，增加选择1.5RN，2RN和3RN;竖曲线长度L则选择设计速度对应的一般值LN和极限值LL，详见表 1。

为了便于对比分析，建立xoy坐标系，其中x代表里程，y代表高程。建立如图3，图4所示路线纵断面模型。

图3 凹型竖曲线计算示意图

图4 凸型竖曲线计算示意图

实际设计工作中一般为已知路线起点BP、路线变坡点B和路线终点C的坐标以及竖曲线半径R等参数，相当于已知i1，i2，R和B点坐标，即可确定竖曲线的位置。

图3，图4纵断面模型均为竖曲线的一般形式，需要首先反算出竖曲线起点A的x坐标。

对于二次抛物线:

对于圆曲线:

由式(12)，式(13)和已知的 i1，yB，从而求出 yA。

经计算可知，当i1，i2，R和B点坐标已知的时候，竖曲线长度L抛＞L圆，即当L圆满足最小竖曲线长度时，L抛必满足，取L=L圆。根据圆曲线相关关系，有:

对比表1，式(14)，式(15)中除了表1中已知的R及L外，仍有两个未知数 α1，α2为不定方程。注意到 i1，i2和 α1，α2的对应关系，本文将给定i1，联立式(14)，式(15)解得i2。

根据式(5)，式(11)，式(12)和式(13)，解得变坡点处路线D点设计高程，进而确定圆曲线式竖曲线和抛物线式竖由线的高程差。

2.2 i1＞0的凹型竖曲线计算结果

设计参数取值:BP点里程K0+000，高程100 m;B点里程K1+000，纵坡i1=1%。

计算结果见表2。

表2 i1＞0的凹型竖曲线计算结果对比表

2.3 i1＜0的凸型竖曲线计算结果

凸型竖曲线建立如图4所示路线纵断面模型。设计参数如下:BP点里程K0+000，高程100 m;B点里程K1+000，纵坡i1=－1%。

计算结果见表3。

表3 i1＜0的凸型竖曲线计算结果对比表

2.4 纵坡其他组合方式的竖曲线计算结果

对于如图5所示i1＜0的凹型竖曲线与i1＞0的凸型竖曲线，可以得出类似的结果，本文不再赘述。

图5 纵坡其他组合方式计算示意图

3 结语

对于两种形式的竖曲线，分析计算过程及结果，可以得出以下结论:

1)竖曲线越短，计算高程越接近。但竖曲线过短，会给人突变的感觉，考虑到行车的舒适性和连续性，竖曲长度不宜过短，除非在极限性情况下，尽量避免采用竖曲线长度极限值。

2)竖曲线半径越大，计算高程越接近。对于高等级公路，两种形式竖曲线高程差已经很小;但对于低等级公路，考虑到纵坡可能的实际取值，舍去最大差值0.5563 m，最大差值已经达到0.0571 m，《新规范》中虽然规定竖曲线采用圆曲线，但部分路线计算软件并没有进行更新(如较为常用的纬地软件)，实际设计工作中需要引起足够的注意。若半径采用《新规范》规定的半径一般值的1.5倍以上，两者差值较小，最大值0.0161 m。若非极限情况，两者差别还是较为微小的。

3)前后纵坡差在17%以内，计算高程差值最大值不到0.0110 m，两者计算结果是较为接近的。

4)考虑到二次抛物的曲率是连续变化的，对于行车来说，抛物线式竖曲线要比圆曲线式竖曲线更为平顺。

5)对比两者基本方程，二次抛物线式竖曲线计算公式更为简单，且T1=T2，概念较为清晰，在实际设计工作中，若非极限情况，笔者仍然推荐采用二次抛物线式竖曲线。

［1］JTJ 011-94，公路路线设计规范［S］.

［2］JTG D20-2006，公路路线设计规范［S］.

［3］潘 威.勘测设计阶段公路平纵线形组合的优化设计方法［J］.山西交通科技，2006(3)：30-32.