模糊随机过程函数列均方一致Henstock积分的可积性*

任爱红

(宝鸡文理学院数学系，陕西 宝鸡 721013)

Henstock积分又称Kurzwarl积分或广义黎曼积分,Henstock 积分不仅包含牛顿积分、黎曼积分和勒贝格积分,而且不需要测度理论的支持。近年来,许多学者已将其引入到模糊数学领域,并对其理论进行了深入的研究[1-4]。然而与模糊数值函数Henstock积分的研究成果相比,对模糊随机过程均方Henstock积分的研究显得非常欠缺[5-9]。由于收敛定理对积分理论的研究非常重要,因此,研究模糊随机过程均方Henstock积分的收敛定理是非常有意义的。 本文引进了二阶模糊随机过程均方一致Henstock可积的概念,利用均方一致Henstock可积,研究了二阶模糊随机过程均方一致Henstock可积的充分必要条件,得出了模糊随机过程函数列的收敛定理。

1 预备知识

模糊数空间Ed={v:Rd→[0,1]},v满足如下条件：

对于任意的v∈Ed,称[v]α={x∈Rd|v(x)≥α}为v的α水平截集。

设T是一实数集,称X:T→L2为二阶模糊随机过程。若在点t∈T,X关于ρ连续,称X在点t均方连续。若在T上的所有点都均方连续,则称X在T上均方连续(更多结论可参阅文献[5-7])。

本文中,假定对任意的t∈[a,b],H差X(t)ӨX(s)(s

定义1 设δ(x)>0是[a,b]上的一个实值函数,[a,b]的一个划分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,n},如果满足下列条件:

(i)a=t0

2 主要结果和证明

下面先给出二阶模糊随机过程均方一致Henstock可积的定义。

定义3 设{Xn,n∈N}∈L2是[a,b]上Henstock可积函数列,称{Xn}在[a,b]上均方一致Henstock可积,如果对任给ε>0,存在实值函数δ(t)>0,使得对[a,b]上的任意δ精细划分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,m}及任一n∈N,有

现在我们来证明模糊随机过程函数列均方一致Henstock可积的充分必要条件。

(1)

证明充分性若对任给ε>0,存在实值函数δ(t)>0,对[a,b]上的任意δ精细划分T及T′,上述(1)式成立,则由文献[10]定理3.1.2 可知,每个Xn是[a,b]上均方Henstock可积的。又因δ是共同的,即对任一n∈N成立,所以{Xn}在[a,b]上均方一致Henstock可积。

由三角不等式性,综合以上两式得

因此不等式(1)成立。

下面给出模糊随机过程函数列均方一致Henstock可积的收敛定理。

定理2 设{Xn,n∈N}∈L2是[a,b]上均方Henstock可积函数列,满足

(i)X∈L2,并且Xn(t)以L2收敛到X(t),t∈[a,b],即ρ(Xn,X)→0;

(ii){Xn,n∈N}在[a,b]上均方一致Henstock可积。

证明由定理假设条件(ii),函数列{Xn}在[a,b]上均方一致Henstock可积,由定义3可知,对任给ε>0,存在实值函数δ(t)>0,使对区间[a,b]上的任意δ精细划分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,k}及任一n∈N,有

现固定精细划分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,k},由假设(i),Xn(t)以L2收敛到X(t),t∈[a,b],即Xn(t)→X(t)逐点收敛于[a,b],可得

ξi)(ti-ti-1)

对上述极限,取自然数N0,使得对任意n>N0,任给ε>0,有不等式

成立。现在说明Xn(t)在[a,b]上的原函数Gn(a,b)是L2中柯西序列。当n>N0,有

而且,当m,n>N0时,由上述不等式可知

ρ(Gm(b)ӨGm(a),Gn(b)ӨGn(a))≤

因此{Gn(a,b),n∈N}为L2中柯西序列,于是存在A∈L2,N1≥N0,当n>N1,有ρ(Gn(a,b),A)<ε。

根据以上不等式,有

Gn(b)ӨGn(a))+ρ(Gn(a,b),A)<2ε

定理3 设{Xn,n∈N}∈L2是区间[a,b]上均方一致Henstock可积函数列,若对任给ε>0,存在实值函数δ(t)>0,使得对区间[a,b]上的任意δ精细划分T={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,m}及任一n∈N,有

ρ[Xn(ξi)(ti-ti-1),Gn(ti)ӨGn(ti-1)]<ε

成立,则对[a,b]上δ精细部分划分T′={[ti-1,ti];ξi,i=1,2,…,s}及任一n∈N,有

(2)

成立,其中l=1,2,…,m。

(3)

由(2)-(3)式得

对任意η>0和所有n∈N都成立,取η=ε,则由上式得

ρξi)(ti-ti-1),Gn(b)ӨGn(a)]<ε

注1 从定理3可知对单个均方Henstock可积函数X,上述定理仍然成立。

3 结 论

文中,通过引入二阶模糊随机过程均方一致Henstock可积的定义,研究了二阶模糊随机过程均方一致Henstock可积的充分必要条件,得出了模糊随机过程函数列的收敛定理。该积分本质上是取值度量空间函数的积分,不需要利用测度理论的支持。根据这种积分的定义和性质，能否给出模糊值过程关于模糊值过程的积分,以及能否定义模糊Brown运动，进而研究模糊值过程关于此模糊Brown运动的积分问题,对于这种有意义的随机风趣的研究,这是我们后续研究工作的重点。

参考文献：

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[5]李静,冯玉湖.模糊随机过程的均方Henstock积分[J].东华大学学报,2007,33(5): 590-594.

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[7]任爱红.二阶模糊随机过程均方Henstock-Stieltjes积分的收敛定理[J].西南师范大学学报,2011,36(5): 62-66.

[8]任爱红.二阶模糊随机过程均方Henstock-Stieltjes积分的相关性质[J].曲阜师范大学学报,2011,37(1): 35-38.

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[10]吴从炘,马明.模糊分析基础[M].北京：国防工业出版社,1991.