椭圆曲面上不动点为二维实曲面的3阶循环群作用

李红霞

(上海海事大学 文理学院，上海 201306)

0 引言

曲面的亏格是反映曲面几何性质的重要数据，已经有很多研究成果.如文献［1］和［2］得到反映4－流形中嵌入曲面的亏格g与自交数［Σ］·［Σ］之间关系的共轭不等式

对于同伦K3曲面，文献［3］得到亏格g与自交数［Σ］·［Σ］的关系式

此外，在群作用下，一些结果可以被提高.如利用稳定同伦的 Seiberg－Witten 不变量，FURUTA 等［4］对K3与K3的连通和上的嵌入曲面Σ得到推广的共轭不等式

EDMONDS［5］证明每个闭的单连通的拓扑4－流形上都存在奇素数阶循环群作用，且除了3阶循环群的某些情况外，这些作用都是同调平凡并且伪自由的.因此，若假设不动点集为二维实曲面，则循环群的阶数只可能是3阶.本文对椭圆曲面E(2k)(k≥1)上的3阶循环群作用进行研究:假设群作用的不动点为二维实连通曲面Σ，研究该不动曲面Σ的亏格g与自交数［Σ］·［Σ］之间的关系.

1 预备知识

本节主要包括椭圆曲面的定义，4－流形上的群作用以及不动点与Spin数的相关内容.

假设X=E(n)为单连通的极小椭圆曲面(极小椭圆曲面是指不是通过其他椭圆曲面的爆破得到的曲面).由于 sign(E(n))= －8n，χ(E(n))=12n，于是 sign(E(2))= －16，χ(E(2))=24，因此E(2)就是K3曲面.

设Zp为4－流形X上的p阶循环群作用，τ:X→X为Zp的一个生成元.如果 τ可以提升到Spinc丛上得到:PSpinc→PSpinc，则称该循环群作用为Spinc作用.如果^τ为2p阶，则称该作用为偶型的;如果^τ为2p+1阶，则称该作用为奇型的.由文献［9］可知任意奇数阶循环作用都是偶型的.

根据局部Smith理论，Zp作用的不动点集F=Fix(τ)是由孤立点和二维实曲面构成的.而EDMONDS［5］证明所有的不动曲面均为二维球面S2当且仅当表示τ*在第二上同调H2(X)上为置换表示，其中τ*:H2(X)→H2(X).此外，有Lefschetz不动点公式

设 bi表示流形 X的第 i Betti数，b+(相应的b－)表示2－阶上同调H2(X;R)的最大正定(相应的最大负定)子空间的维数.kj表示Dirac算子D的G－指标IndGD的表示系数.NAKAMURA［6］证明下面的Seiberg－Witten不变量的模－p消灭定理.

定理1 设X是光滑的闭的定向4－流形，G是X上的p阶循环群作用(p为素数)，且满足(X)≥1，b+(X)≥2.当b1≥1时，假设XG不是空集.设c是一个G－不变的Spinc结构，L是c上的行列式丛.于是是非负的偶数.如果存在d(c)/2的分解(d0，d1，…，dp－1)，满足 d0+d1+ … +dp－1=d(c)/2，其中每个dj都是非负整数，且有

那么 c的 Seiberg－Witten不变量满足 SWX(c)≡0 mod p.

2 主要结果

以下均假设X=E(2k)(k≥1)为单连通的极小椭圆曲面.Zp为4－流形X上的p阶循环群作用，p为奇素数.τ:X→X为Zp的一个生成元.设Zp作用的不动点集F=Fix(τ)为二维实连通曲面Σ，g表示其亏格，N=［Σ］·［Σ］表示其自交数.

定理2 设X=E(2k)(k≥1)为单连通的极小椭圆曲面.τ:X→X为 X上的p阶循环群作用(p为奇素数).为τ的保持平凡Spinc结构的提升.假设不动点集F由孤立点Pj和连通的 二维实流形Fk构成.则有Spin数的计算公式:

式中:αj(βj)表示 2πlαj/p(2πlβj/p)(且 0 ＜ αj，βj＜π);θk=2πlθ/p(且0＜θk＜π);ε(Pjτ)=±1，正负号取决于τ在Spin丛上的作用.

该定理实际上是文献［7］中定理3.1在椭圆曲面上的推广，证明可参考文献［8］～［10］.由定理2可得到下面两个推论.

推论1对于任意的j=1，2，…，p－1，Spin(，X)=Spin(p－j，X).

证明由于式(1)在θ和－θ处的值相等，所以结论成立.

推论2 假设Z3在X=E(2k)(k≥1)上作用的不动点集为连通的二维实流形Σ，则Spin数有计算公式:

证明由于作用的不动点只有一个连通的二维实流形Σ，所以式(1)中与孤立不动点相关的部分消失.因为当 p=3时，θk=2π/3，所以 cos(θk/2)csc2(θk/2)=2/3.将其代入式(1)即得式(2).

下面讨论椭圆曲面X=E(2k)(k=1，2)在循环群Z3作用下，不动点集为二维实连通定向曲面Σ时，该曲面的亏格g与自交数N之间的关系，得到如下定理.

定理3 设G=Z3为极小椭圆曲面X=E(2k)(k=1，2)上的3阶循环群作用，且不动点集 XG为连通的二维实定向曲面Σ，则曲面Σ的亏格g与自交数N之间必满足

由文献［11］可知，标准椭圆曲面 E(4)的 Seiberg－Witten不变量满足SWX(c)=2，标准椭圆曲面E(2)(同伦意义下就是K3)的Seiberg－Witten不变量等于1.因此，对于 G=Z3，椭圆曲面 X=E(2k)(k=1，2)均满足SWX(c)≠0 mod 3.于是由定理1可得:必存在某个kj满足

注意到X=E(2k)(k=1，2)的相交形式同构于2kE8⊕(4k－1)H，其中E8为负定的偶的幺模形式

如果 2k0≥－ 1，则 χ(Σ)+2N ≤ 6.又χ(Σ)=2 －2g，故 g≥N －2.

如果2k1=2k2≥－1，则g≥N －2.于是定理得证.

特别地，当不动曲面Σ=S2时，由于S2的亏格为0，故由定理3可得到此时自交数N必小于4.

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