海森伯格对的一些性质

李伟达，康 娜，2

（1.河北师范大学 数学与信息科学学院，河北 石家庄 050024；2.石家庄经济学院 数理学院，河北 石家庄 050031）

1 引言

三对角对的概念起源于代数组合论中的P－和Q－多项式结合方案理论［1］。对于一个三对角对，存在一个称为可裂分解的向量空间的直和分解［1，Definition4.1］。为了更好地解释这个结论，Godjali［2］引入更一般的线性变换有序对，称为海森伯格对。最近，侯波和高锁刚［3］引入了与之相关的海森伯格系统和尖锐的海森伯格系统的概念。本文主要对海森伯格对和海森伯格系统进一步研究，给出ZZ2×ZZ2在全体海森伯格系统所组成的集合上的一个群作用；研究尖锐的海森伯格系统之间的同构和仿射变换同构。最后，计算尖锐的海森伯格系统及其相关的系统的参数阵列。

2 海森伯格对

FF是一个域，V为FF上有限维向量空间，End（V）为全体V到V上的线性变换组成的FF－代数。

定义1［2，Definition 1.1］ 所谓V上的一个海森伯格对是指一对有序的线性变换A：V→V和A＊：V→V满足条件：（i）A，A＊在V上可对角化。（ii）存在A的特征子空间的序使得A＊Vi⊆V0＋V1＋… ＋Vi＋1（0≤i≤d），规定V－1：＝0，Vd＋1：＝0。（iii）存在A＊的特征子空间序使得规定

当V作为A，A＊－模是既约的，并且V0＊的维数为1时，称A，A＊为尖锐的海森伯格对。

设A在V上可对角化，θ0，θ1，…，θd是A的特征值序列。令则称E是iA关于θi的本原幂等元。并且满足（i）AEi＝EiA＝θiEi（0≤i≤d）；（ii）EiEj＝δijEi（0≤i，j≤d）；（iii）

定义2［3，Definition 2.1］ 所谓V上的一个海森伯格系统是指一个序列满足条件：（i）A，A＊是V上可对角化的线性变换；（ii）是A的一组本原幂等元序列；（iii）是A＊的一组本原幂等元序列＝0当i＞j＋1（0≤i，j≤d）；（v）＝0当

i＞j＋1（0≤i，j≤δ）。规定

海森伯格对和海森伯格系统之间存在对应关系（［3］）。与尖锐海森伯格对对应的海森伯格系统称为尖锐的。设是尖锐的海森伯格系统。则d＝δ。并且对于任意是线性变换的一维特征子空间，其特征值记为称为Φ的可裂序列。

引入以下记号。令FF［λ］为域FF上的以λ为未定元的一元多项式代数。规定FF［λ］中的多项式

3 ZZ2×ZZ2作用

设Φ是一个海森伯格系统。V′为FF上的一个向量空间，并且dimV′＝dimV。在这一节中，我们构作与Φ相关的一系列海森伯格系统，进而给出ZZ2×ZZ2作用。

证明 由定义验证即可。

引理2［3，Lemma5.2］ 在定义3下，设V′是上述向量空间。†是End（V）到End（V′）的反自同构。则是V′上的海森伯格系统。

推论1 在定义3下，设V′是上述向量空间。†是End（V）到End（V′）的反自同构。则海森伯格系统Φ和Φ†具有相同的特征值序列和对偶特征值序列。

证明 在引理2的证明中，已经得到对于0≤i≤d，θi是A†关于本原幂等元Ei†的特征值。类似地，是A＊†关于本原幂等元的特征值序列。故结论成立。

将＊，～看作全体海森伯格系统组成的集合上的置换。则有：＊2＝～2＝1，＊～＝～ ＊。由＊，～生成的且满足以上两个关系式的群是一个ZZ2×ZZ2群。显然＊，～在全体海森伯格系统集上诱导出一个ZZ2×ZZ2作用。若两个海森伯格系统在相同的ZZ2×ZZ2作用轨道时，称其为相关的。

定义5 若任意一个元g∈ZZ2×ZZ2，f是相关于海森伯格系统Φ的任意一个对象，则fg是Φg的相对应的一个对象。

4 尖锐的海森伯格系统的同构

设V′为FF上的向量空间，且dimV′＝dimV。所谓End（V）到End（V′）上的FF－代数同构是指FF－向量空间同构γ：End（V）→ End（V′）且满足对任意的X，Y∈End（V），有（XY）γ＝XγYγ。

引理3 在定义3下，设V′是上述向量空间。†是End（V）到End（V′）的反自同构。如果海森伯格系统Φ是尖锐的，则Φ†也是尖锐的。

证明 由引理［3，Lemma5.3］知，Φ†是不可与约的。根据尖锐的海森伯格对的定义，下证和的维数是1。设海森伯格系统Φ是尖锐的，则的维数是1。因为则的维数是1。由初等线性代数知，本原幂等元的秩是1，所以。由此和引理［4，Lemma10.6］知。则的秩是1，即的维数是1。又由则的维数是1。类似地的维数是1。故海森伯格系统Φ†是尖锐的。

定义6 设Φ、Φ′分别为V和V′上的尖锐的海森伯格系统。所谓一个Φ到Φ′尖锐的海森伯格系统同构是指一个FF－代数同构γ：End（V）→End（V′）且满足Φγ＝Φ′。若存在一个Φ到Φ′尖锐的海森伯格系统同构，则称Φ和Φ′是同构的。

注：若Γ是V→V′的FF－向量空间同构，则存在一个FF－代数同构γ：End（V）→End（V′）使得对任意的X∈ End（V），有Xγ＝ ΓXΓ－1。相反地，若γ：End（V）→ End（V′）是一个 FF－代 数同构。由Skolem－Noether定理［5，Corollary 9.122］知存在FF－向量空间同构Γ：V→V′使得对任意的X∈End（V），有Xγ＝ΓXΓ－1。

证明 （i）⇒（ii）：设γ是尖锐的海森伯格系统Φ到Φ′的一个同构。由定义4.2下面的注释知存在FF－向量空间同构Γ：V→V′使得对任意的X∈End（V）有Xγ＝ΓXΓ－1。显然Γ满足（ii）中的条件。（ii）⇒（i）：对任意的X∈End（V），定义γ：End（V）→End（V′）使得Xγ＝ΓXΓ－1。显然，γ是Φ 到Φ′的同构。

5 尖锐的海森伯格系统的仿射变换

证明 由定义验证即可。

定义7 引理4中的Φ＃称Φ关于α，β，α＊，β＊的仿射变换。设Φ′是V上尖锐的海森伯格系统。若Φ′同构于Φ的仿射变换，则称Φ′和Φ是仿射同构的。

定理2 在引理4下，Φ＃的参数阵列是

证明 由定义3，对于0≤i≤d，标量θi是A的特征值，则αθi＋β是αA＋βI的特征值。所以是Φ＃的特征值序列。类似地是Φ＃的对偶特征值序列。在定理［3，Theorem 4.4］中的方程

A由αA＋βI代替，θj由αθj＋β代替代替，则左边变为所以是Φ＃的可裂序列。故Φ＃的参数阵列是

6 相关系统的参数阵列

设Φ是尖锐的海森伯格系统。如果被它的相关系统所代替，研究参数的变化。

证明 已知当0≤i≤d时，θi是A的特征值，是A＊的特征值。由定义5知，对所有的是Ag特征值，是A＊g的特征值是Φ＊的可裂序列。故Φ＊的参数阵列是

证明 由Skolem－Noether定理［5，Corollary 9.122］可知，存在可逆矩阵R∈ Matd＋1（FF）使得Aσ＝RAtR－1。当 0 ≤i≤d时，有得到θd－i是Aσ的特征值。所以｛θd－i｝id＝0是的特征值序列。所以θ~i＝θd－i。同理，其它等式成立。

推论2 在定义5和定理4下，对于0≤i≤d，有以下等式成立：

证明 由定义5和定理4显然成立。

由代数中反自同构的定义，Skolem－Noether定 理 ［5，Corollary 9.122］，推 论 2，MtNt＝ （NM）t，tr（At）＝tr（A），tr（MN）＝tr（NM）得类似地，在系统和Φ＊下，运用式（1），则

推论3 对于所有的g∈ZZ2×ZZ2，尖锐的海森伯格对Φ的相关系统的及参数阵列如下：

名称 相关系统 参数阵列Φ（A；｛Ei｝di＝0；A＊；｛E＊i｝δi＝0）（｛θi｝di＝0，｛θ＊i｝di＝0，｛ξi｝di＝0）Φ＊（A＊；｛E＊i｝δi＝0；A；｛Ei｝di＝0）（｛θ＊i｝di＝0，｛θi｝di＝0，｛ξ＊i｝di＝0）~Φ（Aσ；｛Eσd－i｝di＝0；A＊σ；｛E＊σδ－i｝δi＝0）（｛θd－i｝di＝0，｛θ＊d－i｝di＝0，｛ξ＊i｝di＝0）~Φ＊（A＊σ；｛E＊σδ－i｝δi＝0；Aσ；｛Eσd－i｝di＝0）（｛θ＊d－i｝di＝0，｛θd－i｝di＝0，｛ξi｝di＝0）

证明 由定理4和定理5显然成立。

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