关于“算法多样化”几个问题的探讨

提倡“算法多样化”是《全日制义务教育数学课程标准》关于计算教学的基本理念之一。它为沉寂的计算教学带来了新的方法，注入了新的活力。随着课程改革的不断深入，人们在运用此理念的过程中产生了很多的问题，对这些问题进行探讨和剖析，会有助于我们更加科学、理性地理解算法多样化的理念。

问题1：新课程中，我们为什么强调“算法多样化”

课程标准认为“由于学生生活背景和思考的角度不同，所使用的方法必然是多样化的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”以24×16为例，学生自己发现的解法有以下几种：

（1）24+24+…+24=384 （16个24相加）；

（2）16+16+…+16=384（24个16相加）；

（3）24+24+…+24=192（8个24相加）， 192×2=384；

（4）16+16+…+16=192（12个16相加）， 192×2=384；

（5）24×2×8=384；

（6）24×4×4=384；

（7）16×4×6=384；

（8）16×3×8=384；

（9）16÷2=8，24×8=192，192×2=384；

（10）24×10+24×6 =384；

（11）16×20+16×4=384；

（13）24×20-24×4=384；

（14）16×30-16×6=384；

（15）16×10+16×10+16×4=384。

由于学生有着不同的生活经验和认知水平，他们的思考角度，必然存在差异。对于这一道题，学生想出的15种方法，有些并不完美，但却是学生思考的结果。从这些方法中，我们看到学生不仅发现了各种各样的解题思路，而且总结、归纳出了这些解题思路的共同特点：把一个“新”的问题转化成为一个“老”的问题来解决。即把一个两位数乘两位数的题目转化为加法或两位数乘整十数、两位数乘一位数来解决。这种化归思想比两位数的乘法运算本身更为重要。善于使用化归正是数学思维的一个重要的特点，数学家们在求解问题时，特别善于使用化归的方法来解决问题，即不是对问题进行直接“攻击”，而是对此进行变形，使之转化，直到最终把它化归成了某个（或某些）已经解决或较容易解决的问题。

如果有学生用“24×13=24+2×24+4×24=312”来计算24×13，教师也不要感到奇怪。

图1是早在古埃及纸草书（大约在三千年之前）上记载的一种乘法——倍乘法，所谓倍乘法就是逐次扩大2 倍的方法。我们以现代的符号和术语为例来说明（见图1）。例如“24×13=416”，大家发现上面算法的规律了吗？ 原来，乘数13可以分解成1+4+8，并在左列1，4，8 的左侧作上标记，把右侧的对应的积相加，即可算得24×13 的结果了。到了1564 年，我们仍然可以从德国数学家施蒂费尔的著作中看到这种算法的痕迹。

问题2：为什么不能忽视数学推理与证明在算法多样化中的作用

在计算24×16的过程中，有这样一个教学片段：

学生：“我是这样算的，首先把16除以2等于8，24乘以8等于192，再用2乘以192，得到384。”

老师问全班学生：“你们都听明白了吗？”

“不明白。”学生几乎是齐声地回答。

“我也不明白。”老师脸上露出一副困惑的样子，“为什么要16除以2，我们这里明明是做乘法运算，怎么会出现除法。你能再说得清楚一点吗？”

这位学生犹豫了一下，说：“我是这样想的，16里面有两个8，所以我先从16中拿出一个8，用它去乘以24，得到192，然后再用2乘以192，得到384。”

老师又问全班学生：“你们听懂了吗？”

大多数学生仍在摇头。

老师说：“我有点明白了，他是这样来考虑的。”（在黑板上写下：16÷2 = 8，24×8 = 192，192×2 = 384。）

老师继续说：“大家看，他的想法是把两位数乘以两位数，转化为两位数乘以一位数，因为两位数乘以一位数我们已经学过了。那么，怎么转化呢？他先将16除以2，得到8，然后用8去乘24，这是两位数乘以一位数，我们都能算，得到的结果是192。但是，刚才我们除了一个2，所以现在还应该把这个2补回去，因此用2乘以192，得到384。现在都明白了吗？”仍有几个学生在摇着头……

从这个同学的回答中，我们看到他把算式中的一个因数写成两个一位数的乘积，先算式中的另一个因数乘其中的一个，把得到的结果再乘另一个一位数。这里学生已经用了乘法的结合率来计算此题，为什么老师解释后，仍有几个学生在摇着头?此时老师应该转到有关联系和性质的推理上去，应该向学生提出这样的问题：如果我再给20道这样的问题，这个方法都适合吗？你怎样知道呢？通过比较答案和互相质疑，他们能够开始学习如何叙述存在于许多例子中的数学关系，学习去发展和论证为什么这些关系能概括出来以及什么情况下使用。在小学阶段，学生应该在他们的数学推理方面进行重要的思维转变，遇到一个结论好像成立时或不能说出反例时，学生应该能形成猜想并在自身经验的基础上对猜想做出评估。

问题3：如何引导学生在交流与归纳的过程中，使算法更优

交流是数学和数学教育中很关键的一部分，是分享观念和澄清理解的一种方式。在数学交流中，教师还应引导学生学会归纳和演绎，因为最基本、最主要的数学活动是以逻辑为特征的演绎论证活动和以经验为特征的归纳发现活动，其他的数学活动都是围绕这两种活动而展开的，或者是一种拓展，或者是一种延伸，或者是一种组合．《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）中也强调了观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

我们还是以24×16为例，教师引导学生在交流中寻找各种方法的特点，比较方法的优劣，通过师生共同观察、分析、比较、归纳得出：方法（1）～（4）主要用的是加法，比较基本，但计算比较麻烦，所用的时间长，而且容易出错；（5）～（15）这些方法各有优缺点，可能不同的人会喜欢不同的方法。从（5）～（15）这些方法的思路来说，（5）～（9）这五种方法的思路，都是把一个两位数分成两个一个数的积，这一思路具有特殊性，不是对于所有两位数乘两位数都适用，如19×23，这种举反例的能力也是学生所要具备的。余下的几种方法的思路具有一般性，（10）、（11）和（15）是一种思路，（13）和（14）是另一种思路，方法（12）是竖式计算。

问题4：竖式有时显得不够简便，但为什么必须先掌握好

还以24×16为例，把15种方法中的（10）（11）（13）（14）的横式计算与竖式计算的（12）做一个比较。我们发现竖式计算并不简单，相反有些横式还比较简单，但我们为什么要强调竖式计算，并且必须要求学生先掌握好呢？

原因1：算法(algorithm) 一词源于算术(algorism) . 粗略地说，算术方法是一个由已知推求未知的运算过程. 后来， 人们把它推广到一般， 把进行某一工作的方法和步骤称为算法.广义地说，菜谱是做菜肴的算法，空调说明书是空调使用的算法，歌谱是一首歌曲的算法.算法作为一个名词， 在小学教材没有出现过，但是我们却熟悉许多问题的算法，比如我们知道解一元二次方程的算法， 求解一元一次方程、 一元二次方程、一元二次不等式的算法等等。算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。

原因2：数学在教育中的特殊作用在于数学的普遍应用，数学的定理和理论，既重要，又有用，数学还提供了有特色的思考方式，包括建立模型、运用符号等。竖式计算是普遍适用并且是强有力的思考方式。竖式把数的运算进行抽象化，建立一个模型，把这种模型用数学符号表示出来，竖式的运算方法不但对于两位数乘两位数适用，对于三位数乘两位数、三位数乘三位数也适用，甚至可以把它推广到代数式的运算。

问题5：为什么要强调表征在算法多样化教学过程中的作用

表征是指可反复指代某一外部的或想象的事物的任何符号或符号集。在不同的数学表征之间建立联系以及在自己的想法与表征这种想法的方法建立联系的过程，有助于加深学生对数学的理解。

例如，用两种不同的方法表达计算“18+24”的同一种方法。

可以看到用横式和竖式表达的是同一计算方法，更重要的让学生明白不管是横式还是竖式，它们都是同一方法的不同表征。

又如，在计算24×16时，方法（10）和（12）的比较。

我们要引导学生思考这样一个问题：两种方法解的是同一道题，你能看到它们有任何相似的地方吗？在方法（10）中24×10=240，而在方法（12）中不是240，而是24，我们是不是也可以在24后面添一个0，这能帮助你看到其他相似的地方吗？学生开始时不一定能看到这些关系，通过老师的引导，帮助学生把注意力集中到这两种方法的共性上来，即帮助学生澄清计算过程中的数所代表的数值是多少，还有方法（12）中144与240之间存在一个未写的加号，以及为什么在竖式中要把240的0省略。我们应该鼓励多做这样的解释和课堂讨论，这样可以帮助学生理解数学表征，解释和明确他们的计算策略。

数学教学的改革之路任重道远，需要我们数学教育者不断反思，在反思中不断前行，从而更加科学、理性地理解新课程的理念。

（责编 金 铃）