小学数学思维教学与智力发展

小学数学中的思维教学是数学教学的核心内容，也是小学生智力发展的主要载体。由于小学生的思维具有个性、具象、随意和不可捉摸等特性，使得小学生思维教学工作困难而具有挑战性。近几年我在小学数学思维教学中进行了一些有益的探索，如在思维与语句词语、思维与情境、思维与表达、思维与数学模型建构、思维的训练途径与方法、形象思维与数学逻辑思维的关系等方面从实践层面进行探索，同时也结合新课程理念进行了一些思考，下面罗列出来与同行们共享。

一、强调数学语言教学，是数学思维教学的基础

语言是思维的外壳。思维是通过自身有声的语言和书面语对外输出的，被接受和理解的前提是语言本身代表明确具体的含义。语文教学中对“词语”学习的要求是准确具体，还要注重结合情境理解。如果我们把表达数学概念、数学关系、数学符号、数学图形、数学判断推理及解决问题的数学思想等都叫做数学语言的话，在教学中让学生弄懂这些数学语言的内涵是首要的教学任务。然而，现实教学中许多数学教师往往忽略对数学教材中数学语言的教学，因为学生不能准确理解数学语言的含义，给学生造成新知学习上的困难和今后学习的被动。我认为强调数学语言的准确理解和掌握，对学生学习把握数学知识和培养数学思维非常重要。所以，在教学过程中，教师必须加强对数学语言的有效教学，使学生能准确地理解、掌握并应用所学的数学语言，为数学思维的发展奠定坚实的基础。

那么，怎样才能做到让学生明确所学习的数学语言的内涵呢？我一般通过下面几个步骤达成教学目标。

1.学生说。

可以分为“先说”和“后说”。每当学习新的数学知识，对有关表达知识的词句，都先让学生说说对新词语的理解，从学生的理解中发现学生对学习新知的已有储备。比如学习加法时，对“一共有多少”中的“一共”就可以让学生说说自己的理解，教师在学生说的基础上了解学生的知识储备，确定下一步的教学策略。“后说”就是在学生掌握和应用知识的过程中，不断地锻炼自己的数学语言表达，以期达到巩固知识和内化知识的目的。

2.教师说。

对于学生来说，每逢学习新的数学知识，教师都必须给予准确的概念讲解，避免学生数学知识理解上的混淆不清、莫衷一是。尽管新教材很少用书面文字表达新知，也不提倡让学生死记硬背，但在教学中让学生理解准确，进而能用自己的语言准确表达，是十分必要的。

3.动手做。

学生亲自动手实践的知识，不仅有利于记忆，更有利于理解掌握。如“一共是多少”的“一共”是什么意思，学生用具体的物体动手操作后就明白：“一共”就是要把同类事物“合并”到一起计量。动手操作的现实情境一定会在学生的脑海里形成具象，不仅有利于对新知的理解和掌握，还会成为学生以后解决问题时思考的孕伏和铺垫。

4.同式化。

当学生学习新知以后，一定要给学生提供同情境、同类型、同结构的练习题，通过类比联系让学生巩固知识、内化知识。

5.变式扰。

为了让学生真正理解掌握新知，还必须设计一定量的变式练习题组，通过干扰训练，使学生明白虽然有时题目叙述语境有了变化，但所表达新知的内涵没变，所以解决问题的方式方法也没变。

6.对比明。

在学生有了一定的知识储备后，教师要设计一定量的对比练习题组，通过对比练习，使学生了解不同情况下数学语言的联系和区别，让学生理解新旧知识的联系和区别，更加准确地巩固旧知、掌握新知。

二、揭开数学模式化的面纱，正确认识数学思维的内涵

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐步抽象、概括形成方法和理论，并进行实际应用的过程。这个对“数学”的定义充分体现了数学模式化本质。学生在课堂上学习的是用数学语言记录后的数学，它本身就是模式化的产物。因此，要想让学生受到真正的数学思维训练，就必须让学生了解模式化的数学是怎么来的、怎样被模式的，即必须弄清楚数学模型的建立过程。

客观世界是怎样被模式化成数学的呢？我们不妨先来看看数字“7”的由来：北斗7星，一个星期有7天，妈妈买来7个苹果，山上住着7只小猴子……这些数量经过人类的抽象和概括后就建模成“7”这个数。要想认识7就必须分别认识那些具体的7，那些具体的7 就是学习数字7的起点。正如苏霍莫林斯基所说：“大自然是人的思想的源泉。”数学的全部思想都是由客观世界经模式化而来，所以弄清楚数学模型的建立过程，也就弄清楚了学生数学思维学习的起点。

小学数学思维教学内容具有严密的内在逻辑结构，是相对完整的体系。作为教师要做到烂熟于心，在教学过程中应当完整地体现出来，让学生了解并系统掌握，只有如此才能使学生学习的知识融会贯通并形成体系，最终形成能力，发展智力。小学数学思维蕴含的逻辑之一就是数学知识编排呈现的一般次序。比如，小学数学为什么要先学加法？因为减法是加法的逆运算，乘法是求几个相同加数的和的简便运算，除法又是乘法的逆运算，加法是母体，其他方法都是它的“子孙”，自然要先学加法。又如，几何知识的呈现是由平面几何到立体几何，平面几何又是按“长方形（正方形）——平行四边形——平行四边形——三角形、梯形、长方形（正方形）——圆”的顺序编排的。为什么要这样编排，教师非常清楚，这样编排的知识前后紧密相连，前一知识是后一知识学习的起点，后一知识是前一知识的变化和发展，或者说它们可以实现一定条件下的转化。学生并不真正理解，所以教学每种图形时，教师都应当引导学生前思后想，弄清楚为什么。当全部学习结束的时候，教师更要引导学生深入地探究一番，弄清来龙去脉，让学生最终沉淀在脑海里的知识形成系统，会综合应用。

小学数学思维蕴含的逻辑之二就是数学模型之间的连接关系。如在教学以解决问题为代表的实践运用数学知识的过程中，首先必须理清问题中各部分的关系，即模型之间的先后次序和连接方式。比如教学例题：老猴说“我采了3筐，每筐12个”，小猴说“我采了6个”，两只猴一共采了多少个？正确列式为12×3＋6和6＋12×3。两种算式是因为老猴和小猴有先说与后说之分，但是不论先后，它们说的都是同一个层面上的事，是并列等价关系，都是对问题的正确的数学表述。为什么不能列成12＋3×6呢，因为3筐与6个没有关系；为什么也不能列成3×（12＋6）呢，因为按综合法考虑，3筐只与12个有关系，没有同时和12个与6个产生关系。从分析法考虑，要求“两只猴一共采了多少个”，就必须先分别知道它们各自采了多少个，小猴是6个很明确，老猴是“3筐每筐12个”，当然要先求出来。上述分析也证明了计算时为什么要“先算乘（除）法后算加（减）法”的四则运算规则，“两只猴一共采了多少个”的问题同时也阐明了两只猴采的个数的联系。这样的数学学习会让学生的逻辑分析能力逐渐明晰、丰满起来。

三、为学生建立数学思维训练的“场”，在数学学习中增长智慧

数学是人类思维的体操。小学数学教学就是数学思维的教学。教学实践证明：数学思维教学必须有一个组织严密的“场”，在这个场里不仅要提供思维教学的材料，还要有思维教学的内容和方法，以及要实现的目标和保障这个“学习场”正常运行的氛围。

数学教材提供的以解决问题为目的的数学材料组合以及为解决问题而选取的生活中数学材料都可以用来进行思维训练。像上述7的认识过程，不仅始终进行着形象思维的训练，而且从认识到应用的过程也伴随着内在的逻辑思维，那就是“客观事物——建立模型——再认识客观事物”。

对小学生的思维教学主要包括形象思维和逻辑思维，低年级学生以形象思维为主，高年级学生逐渐过渡到以逻辑思维为主。但是人类的形象思维和逻辑思维并不是各自独立存在的，它们是一个整体，形象思维始终离不开逻辑思维，逻辑思维又是依靠形象思维而展开的。小学生借助数学形象演绎数学逻辑，反过来，在进行判断推理数学逻辑的过程中又始终依靠数学形象思维。

综合法与分析法是对学生进行思维教学的主要途径和方法。运用综合法来解决数学问题就必须弄清楚提供给我们思考的数学信息之间的联系，明白有联系的数学信息会产生什么新的数学信息，并懂得这一新信息与最终要解决问题之间的关系。综合法是一种由因索果的思维方法，是由现象到本质的归纳，是人类生活中最基本的思考方法。分析法与综合法相反，它的思考路径是从假设数学问题可能成立开始，去反向寻求达成一种结果的必有的前提或条件。由果寻因的思考方法是人类生活中又一最基本的思考方法。事实上，我们在进行数学思考时每时每刻都在交替着使用这两种方法，它们也是一对“孪生姊妹”，既各自独立，又密切相连。上述例题教学的描述就是例证。在对学生思维训练中应该抛弃人为地把它们分开的做法，而应该把它们结合起来进行综合训练。苏教版小学数学教材中提供的列表法、画图法、倒推法、替换法、转化法、剪拼法、假设法等都应该是对学生进行思维训练的工具、手段或技巧，它们都是综合法与分析法运用过程中的表现形式。

对小学生进行数学思维教学离不开他们的实际生活。数学逻辑的基石是生活逻辑，离开生活，人的思想就成了无源之水，思维也就无从谈起。因此，把数学思维教学植根于学生的现实生活是最根本的保障，也是激发学生积极参与的兴趣所在。

总之，在小学数学的思维教学中，只要能做到重视数学语言的教学，把握小学数学知识内在的逻辑关系，创造和谐的“学习场”，不断训练，就会促进学生思维的发展，既培养学生的能力，提高学生的数学素养，又发展学生的智力，形成数学智慧。

（责编 杜 华）