有关曲线运动高考题赏析

王晓春

曲线运动在高中物理中既是学习的重点，又是学习的难点. 因为曲线运动比直线运动的过程复杂，对空间感的要求高；而且在以后学习万有引力、机械能、电场、磁场时都有涉及，所以，每年高考题中曲线运动的内容也比较多. 下面就近年出现在高考题中的曲线运动问题和大家一起来赏析.

■ 一、 运动的合成

运动的合成和分解，是处理曲线运动的基本方法，遵循平行四边形定则. 合运动和分运动具有等时性，而分运动之间又是相互独立的，其运动的规律由该分运动方向上的受力情况决定.

■ 例1（2009广东）船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2. 为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为（）

ABC D

■ 解析根据运动的合成与分解的知识，可知要使船垂直达到对岸即要船的合速度指向对岸. 根据平行四边行定则，C正确.

■ 点评这条高考题说明高考并非条条都是难题，要增强自信心.

■ 例2（2009江苏）在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，下列描绘下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的图象，可能正确的是（）

A BC D

■ 解析因为有空气阻力，所以该运动员所做的不是平抛运动，其水平方向和竖直方向的运动由各个方向的受力情况决定. 水平方向只受空气阻力，所以做减速运动，由于空气阻力的大小随速度的减小而减小，所以其加速度应该减小，vx-t图象正确的是B. 竖直方向所受重力大于空气阻力，做加速运动，但空气阻力的大小随速度的增大而增大，其加速度减小，所以vy-t图象上各点切线的斜率应该随时间减小，C、D两选项都不对. 本题正确的是B.

■ 点评这是条中等难度的高考题. 它要求考生理解分运动的独立性，运动规律由该分运动方向的受力情况决定，并能用v-t图象表示非匀变速运动.

■ 例3（2011上海）如图1，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行. 当绳与河岸的夹角为α，船的速率为（）

A. vsinα B. ■

C. vcosα D. ■

■ 解析以绳牵连的两物体，其速度沿绳方向的分速度应该相等. 因为船沿绳的方向行进，其速率应该等于人的速度沿绳方向的分量，所以v船=vcosα，故选C.

■ 点评这是一条易错题，要求考生真正理解以绳牵连的两物体的速度关系.

■ 二、 平抛运动

平抛运动是曲线运动的主要实例，平抛运动的处理方法就是运动的分解和合成.

■ 例4（2011海南）如图2，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆. ab为沿水平方向的直径. 若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点. 已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径.

■ 解析设圆半径为r，质点做平抛运动，则：

x=v0t①

y=0.5r=■gt2②

过c点做cd⊥ab于d点，Rt△acd∽Rt△cbd可得：

cd2=ad·db即为：■2=x（2r-x）③

由①②③得：r=■v20.

■ 点评本题出现两解的原因是小球的落点c可能有落在圆心的左侧或右侧两种情况. 在曲线运动中，运用几何知识来解题是常见情况，所以平时学习要注重这方面的训练.

■ 例5（2010天津）如图3所示，在高为h的平台边缘水平抛出小球A，同时在水平地面上距台面边缘水平距离为s处竖直上抛小球B，两球运动轨迹在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度为g. 若两球能在空中相遇，则小球A的初速度vA应大于_______，A、B两球初速度之比vA ∶ vB为_______.

■ 解析对A球，落地时间t落=■.

若两球能在空中相遇，则：

A球射程xA=vAt落＞s，∴ vA>s■.

设经过时间t后相遇，则：s=vAt.

yA+yB=h，即■gt2+vBt-■gt2=h，

得：t=■，

s=vA■，

所以■=■.

■ 点评两个物体相遇问题，对空间位置关系的分析是至关重要的. 而本题还由于地面位置的限制，要分析能否相遇的条件，所以有一定难度.

■ 例6（2010北京）如图4，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从Ｏ点水平飞出，经过3.0 ｓ落到斜坡上的Ａ点. 已知Ｏ点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员的质量m=50 kg. 不计空气阻力. （取sin37°=0.60，cos37°=0.80；g取10 m/s2），求:

（1） A点与O点的距离大小；

（2） 运动员离开O点时的速度大小.

■ 解析（1） 运动员在竖直方向做自由落体运动，有A点与O点的距离

Lsin37°=■gt2得tL=75 m.

（2） 设运动员离开O点的速度为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即

Lcos37°=v0t

得v0=20 m/s.

■ 点评由于运动员的起落点都在斜面上，所以运动员的水平位移与总位移的夹角等于斜面的倾角.

■ 三、 圆周运动

运用牛顿运动定律处理圆周运动问题是高中物理的难点.

■ 例7（2011安徽）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替. 如图5（a）所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径. 现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图5（b）所示. 则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（）

（A） ■ （B） ■

（C） ■ （D） ■

■ 解析斜抛物体的运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，在最高点有

水平方向vx=v0cosα；竖直方向速度为零.

根据牛顿第二定律，mg=m■得：ρ=■，故选C.

■ 点评该题给出了一个没有学过的物理模型，需要考生进行知识的迁移，运用学过的模型解决问题，具有一定的难度.

■ 例8（2010南通模拟卷）竖直平面内光滑圆轨道外侧，一小球以某一水平速度v0从A点出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，不计空气阻力. 下列说法中不正确的是（）

A. 在B点时，小球对圆轨道的压力为零

B. B到C过程，小球做匀变速运动

C. 在A点时，小球对圆轨道压力大于其重力

D. A到B过程，小球水平方向的加速度先增加后减小

■ 解析在A点，mg-N=m■可知N

在B点，小球离开球面，N=0，A正确；

在A、B两点，水平方向不受力，水平方向加速度为零. 而从A到B的过程中，水平方向有力的作用，水平方向加速度不为零，所以D正确；

从B到C，小球只受重力，做匀变速曲线运动，B正确.

所以，该题选不正确的是C.

■ 点评物体的受力情况决定了运动的性质. 该题中由于物体在不同位置和不同过程中受力情况的不同，对考生的的能力有较高的要求. 另外，本题要求选不正确的选项，也是考生容易犯错的地方.

■ 例9（2010苏南四市调查卷）如图7所示，水平转台高1.25 m，半径0.2 m，可绕通过圆心处的竖直转轴转动. 转台的同一半径上放有质量均为0.4 kg的小物块A、B（可看成质点），A与转轴间的距离为0.1 m，B位于转台边缘处，A、B间用长0.1 m的细线相连，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为0.54 N，取g=10 m/s2.

（1） 当转台的角速度达到多大时细线上出现张力？

（2） 当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？

（3） 若A物块恰好将要滑动时细线断开，此后转台保持匀速转动，求B物块落地瞬间A、B两物块间的水平距离. 不计空气阻力，计算时取π=3.

■ 解析（1） 由 f =mω2r可知，B先达到临界状态，当满足 f m=mω21r时线上出现张力，

解得ω1=■=■■ rad/s.

（2） 当角速度继续增大，A受力也达到最大静摩擦力时，A开始滑动，

此时 f m-T=mω′2■ f m+T=mω′2r

解得ω′=■=3 rad/s.

（3） 细线断开后，B沿水平切线方向飞出做平抛运动.

由h=■gt2得t=0.5s，且vB=ω′r=0.6 m/s.

所以B的水平射程xB=vBt=0.3 m.

细线断开后，A相对静止在转台上，t时间转过的角度θ=ω′t=1.5 rad，即■.

故AB间水平距离l=■=0.28 m.

■ 点评临界状态的确定，要求对物体受力情况的变化进行仔细的分析. 该题出现了两处临界状态的分析，在第三问还要求建立三维的空间关系，所以难度较大.

平抛运动自测题参考答案

1. A2. C3. C4. B5. C6. C7. D

8. 竖直，自由落体

9. （1） 10（2） 1.5（3） 2.5

10. 37.5 m/s，3.2 m

11. （1） 2000 m（2） 224 m/s，与水平方向的夹角为arctan 2

12. 1 m/s≤v≤1.4 m/s

13. 17.3 m/s，2 s

圆周运动自测题参考答案

1. B2. D3. C4. C5. C6. AC7. AC8. ABC9. C

10. 2 ∶ 2 ∶ 1；2 ∶ 1 ∶ 1；4 ∶ 2 ∶ 1

11. 100，200

12. （1） 0.16 N（2） 略

13. 5×103 N、4×103 N、10■ m/s

14. 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s；0.27 N、1.09 N

曲线运动自测题参考答案

1. C 2. D 3. D 4. C 5. B6. B 7. D 8. C 9. A 10. B

11. 解析：对上方小球，有mg-N1＝mlω2/2，对下方小球，又有N2-mg＝mlω2/2. 将ω=■代入，解得N1＝mg/2，N2＝3mg/2. N1是压力，N2是拉力.

12. 解析：（1） 由mgl＝■mv20，T1-mg＝mv20/l，N-Mg-T1＝0，解得N＝Mg+3mg.

（2） 由T2+mg＝mv2/l，T2-Mg＝0，解得v=■.

13. B14. ABC 15. BC 16. C17. BD18. AD19. A 20. AC

21. 解析：（1） 由tan45°＝gt/v0＝20/v0，得v0＝20 m/s.

（2） 由cos60°＝■，得v＝40 m/s.

（3） 由■=gt′，h=■gt2，得h＝60 m.

（4） 由x＝v0 t′，得x＝40■ m.

22. 解析：（1） 对A、B两物块，分别有：

0.4m1g-T＝m1rω2；0.4m2g+T＝m2（r+l）ω2.

可得ω=■≈4.08 rad/s.

（2） A、B均相对于圆盘滑动时，对A来说是最大静摩擦力与拉力的差值等于所需向心力，对B来说是最大静摩擦力与拉力的和等于所需向心力.烧断A、B间的线，A、B受的拉力立即减为零，这样最大静摩擦力充当A的向心力将偏大而立即变为数值较小的静摩擦力，使A仍相对静止；而最大静摩擦力充当B的向心力将不足而使B相对于圆盘做离心运动.