被“约束”的平抛物体的飞行时间

陈金秀

■ 一、 思考的起点

如果一个平抛的物体，在一个无限大的没有任何障碍与约束的空间中，它将永远运动下去，见图1. 在运动的过程中，平抛物体的速度和位移都在不断地随时间发生变化，具体规律如下：

速度：vx=v0，vy=gt，v=■，tan α=■=■.

位移：x=v0t，y=■gt2，

s=■，tan θ=■=■.

如图2所示，就是在有“约束”的情况下，如在某一高度平抛小球，或要求平抛的小球以特定的角度到达斜面，平抛物体就会有一个确定的飞行时间. 在飞行的末时刻，平抛物体会有确定的速度，对应飞行过程，物体会有相应的位移.

平抛运动中速度和位移随时间变化的规律是求解飞行时间的起点和依据.

■ 二、 典型的情境

■ 1. 被有限的空间约束

■ 例1在同一平台上的O点抛出的三个物体，它们做平抛运动的轨迹均在纸面内，如图3所示，则三个物体在空中的飞行时间tA、tB、tC的关系分别是（）

A. tA>tB>tC

B. tA＝tB＝tC

C. tA

D. 不好判断，与抛出时的初速度大小有关

■ 解析平抛运动合运动和分运动具有等时性. 从竖直方向看，y=■gt2，结合A、B、C三点距O点的高度，可以明确地得出A是正确答案. 如果从水平方向看，虽然xC>xB>xA，但由于三个物体水平方向的速度关系为vc0>vB0>vA0，所以用x=v0t无法进行时间的判断.

■ 例2在倾角为37°的斜面上，从A点以6 m/s的初速度水平抛出一个小球，小球落在B点，如图4所示. 求小球在空中飞行的时间. （g取10 m/s2）

■ 解析如图5所示，本题中，平抛运动的位移恰和起落点间的斜面重合，借用斜面倾角和位移的方向相同，可以进行飞行时间的求解.

设小球落到B点时运动时间为t，

则tan θ=■=■=■故t=■=0.9 s.

观察解题过程还可以得知：飞行时间取决于平抛物体的初速度和斜面的倾角.

■ 例3一小球以2 m/s的速度从楼梯顶部水平飞出，如图6所示，若台阶宽度均为0.25 m，高度为0.2 m，则小球将在什么时间与哪个台阶相碰？（g=10 m/s2）

■ 解析作如图7所示的辅助斜面，小球在碰到台阶前必将和假想中的辅助斜面碰撞，先求小球和假想斜面的碰撞时间和位置.

仿例1有：■=tan θ，即■=■，故t=0.32 s，x=0.64 m. 由于每个台阶宽为0.25 m，所以小球会落在标号为4的台阶上. 4号台阶距抛出点竖直方向的距离为0.6 m，故由y=■gt2，得到实际飞行时间为0.2■ s.

■ 例4如图8所示，竖直固定圆弧的半径R=1 m，一个小球从圆心O处以初速度v0=1.5 m/s水平射出，求经过多长时间落到圆弧上？（g取10 m/s2）

■ 解析建立如图9所示坐标系. 设小球经过时间t后运动到圆弧上，则由平抛规律有x=v0t，y=■gt2，同一圆上各点应满足x2+y2=R2，三式联立解得，t=0.4 s.

■ 小结找出约束的空间几何特点，如下落的高度、斜面的倾角、圆的轨迹等，再和平抛运动中位移随时间的变化规律恰当结合，是解决此类问题的方法.

■ 2. 被特定的速度约束

■ 例5一以初速度v0水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，求小球在空中的飞行时间.

■ 解析依题意，对小球的末速度进行如图10所示的分解，有tan θ=■，

解得：t=■.

■ 例6从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为v1和v2，初速度方向相反，则经过多长时间两小球速度之间的夹角为90°？

■ 解析如图11所示，因为α和β互余，所以有tan α·tan β=1，且由平抛规律有tan α=■，tan β=■，联立各式解得t=■.

■ 小结速度随时间的变化不仅体现在速度的大小上，还体现在速度的方向上，特定的速度对应着相应的时间，洞察并用好速度的方向，是解好此类题的关键.

■ 三、 思路再梳理

平抛物体被“约束”的具体情境还有很多.

■ 例7A、B两小球以l＝6 m长的细线相连. 两球先后从同一地点以相同的初速度v0＝4.5 m/s水平抛出，相隔Δt＝0.8 s. A球抛出多长时间，线刚好被拉直？

■ 解析两小球平抛的轨迹是重合的，设A抛出时间t后，线被拉直，此时AB间的距离为l＝6 m，如图12所示. 由题意有：Δx＝v0 Δt＝4.5×0.8 m＝3.6 m；Δy＝yA－yB＝■gt2－■g（t－Δt）2＝－3.2＋8t；且有（Δx）2＋（Δy）2＝l2，解得t＝1 s.

虽然具体情境千差万别，但把握住平抛运动中各物理量随时间变化的规律，挖掘出“约束”背后的关系式，是求解飞行时间的基本思路.