基于模拟电路与MATLAB的系统稳态误差综合研究

晁春阳 马壮

[摘 要] 文章介绍控制系统的稳态误差及系统的分类，通过实验室电路模拟和MATLAB仿真两种方法，对线性O型和Ⅰ型系统在阶跃响应下的稳态误差进行对比分析，验证了系统理论计算的准确性，分析并得出两者间存在误差的主要原因。

[关键词] MATLAB；实验；稳态误差；线性系统

[作者简介] 晁春阳，唐山学院信息工程系，研究方向 ：电气工程及其自动化，河北 唐山，063000；马壮，唐山学院信息工程系讲师，研究方向 ：自动控制理论研究与自动化技术应用，河北 唐山，063000

[中图分类号] TP202 [文献标识码] A [文章编号] 1007-7723（2012）11-0035-0003

MATLAB即矩阵实验室，是一款当今世界上最优秀的数值计算软件，是用于概念设计、算法开发、建模仿真、实时实现的美国公司开发的理想的集成环境。它为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案[1]，在数学、教学、研究等方面得到广泛应用。稳态误差在实际生产中有着不可替代的作用，是衡量系统的稳定品质的重要指标。

一、控制系统稳态误差概念

系统在稳态情况下输出量的期望值与之间的误差，称为系统稳态误差。稳态误差的大小是衡量系统稳态性能的重要指标。由于不灵敏区、零点漂移、老化等非线性因素以及输入函数的形式不同，使得自动控制系统在稳态时系统的输出量与输入量不能完全吻合，从而不可避免地存在稳态误差[2]。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

图1为控制系统的典型动态结构图。当给定信号Xr（s）与主反馈信号Xf（s）不相等时，一般定义其差值E（s）为误差信号。此时，误差定义为：

E（s）=Xr（s）-Xf（s）=Xr（s）-Wf（s）Xc（s）[3]

这个误差是可以测量的。

另一种误差的定义方法是从系统的输出端来定义的，误差等于系统输出量的实际值与期望值之差。这种方法定义的误差，在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。

对于图2所示单位反馈系统，这两种方法定义是相同的。对于单位反馈控制系统，反馈传递函数Xf（s）=1，则输出量的希望值就是输入信号，因而两种误差定义的方法是一致的。

二、系统的划分[4]

根据开环传递函数中串联的积分环节个数，可将系统分为几种不同类型。单位反馈系统的开环传递函数可以表示为：

式中：N——开环传递函数中串联的积分环节的阶次，也称为系统的无差阶数；

——N个串联积分环节的等效传递函数。

N=0时的系统称为0型系统；N=1的系统称为Ⅰ型系统，以此类推。随着N值增大，系统的稳定性降低。

本文主要分析0型Ⅰ型系统的稳态误差问题。

三、实验步骤及分析

本文利用已知的系统传递函数：

和

首先对系统进行理论分析得出计算值，然后通过实验电路和MATLAB仿真对计算结果进行对比，验证线性0型Ⅰ型在阶跃信号响应下稳态误差的准确性。

（一）实验设备

本文以AEDK-LabACT-3A实验箱为例，来进行分析。

（二）实验过程

1. Ⅰ型系统分析

I型系统 ： ，其稳态误差公式为：

对于Ⅰ型系统，位置稳态误差系数为 ：

Ⅰ型系统的位置稳态误差：

经计算：

自然角频率：

阻尼比：

超调量：

峰值时间为： ≈0.41s

调节时间： （5%）≈ =0.60s

（1）根据图3中的电路图连接电路，接通实验箱电源，打开Lab ACT软件，进行观察。实验结果如图4所示。

由实验观察得出，峰值时间Tr≈0.41s；

超调量为：

稳态误差为0。

（2）用Matlab仿真[5]如下：

num=[25]；den=[0.3，3，25]；

t=[0：0.1：5]；

sys=tf（num，den）；

step（t，3.008*sys）；

grid

由仿真结果图5可知如下参数：

超调量： 12.80%

峰值时间为 ≈0.41s

调节时间： （5%）≈0.58s

稳态误差仿真过程及结果如下：

num1=[0.3，3，0]；den1=[0.3，3 25]*3.008；

ess1=dcgain（num1，den1）

ess1 =0

该系统稳态误差为：ess=0

2. 0型系统分析

0型系统

经计算：

自然角频率：

阻尼比：

峰值时间为：

调节时间：

超调量： ≈18.77%

稳态误差： ≈3.008*1/（1+4）≈0.60V

（1）同理根据图6的电路图连接电路，用LabACT进行观察。

由实验图7观察得出：

峰值时间Tr≈0.24s

超调量：

稳态误差： ≈3.008-2.42=0.588≈0.59V

用matlab仿真程序如下：

num=[200]；

den=[1，15，250]；

t=[0：0.1：5]；

sys=tf（num，den）；

step（t，3.008*sys）；grid

由仿真结果图8可知如下参数：

超调量： 18.40%

峰值时间为： ≈0.22s

调节时间： （5%）≈0.33s

稳态误差仿真过程及结果为：

num2=[0.04 0.3 1]；

den2=[0.04 0.3 5]；

ess2=dcgain（num2，den2）*3.008

ess2 =0.6016

该系统稳态误差为：

ess≈0.6V