数形结合在解题中的运用

吴春林

摘要： 数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一。新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提高对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。

关键词： 数形结合解题运用

数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形又是数的直观表现。数形结合并不是简单地堆砌，而是有机地结合。华罗庚教授曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数解形”，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题。而对于抽象思维还不够成熟的高中学生来说，如果在解题中能够很好地运用这一数学解题中重要方法，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果。

一、利用数形结合解决集合问题

图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图像等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。

例1：若I为全集，M、N?哿I，且M∩N=N，则（）。

A.CM?勐CNB.M?哿CNC.CM?哿CND.M?勐CN

提示：由韦恩图很容易知道答案为C。

二、方程与函数中的数形结合

函数的图像是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图像和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其是较为繁琐的（如分类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图像的直观作用，如：求解函数的值域时，可给一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度（两点间的距离）等，把代数中的最值问题转化为几何问题，实现数形转换。

方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y=f（x）和y=g（x）的图像的交点个数问题。不等式f（x）＞g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图像位于函数y=g（x）的图像上方的那部分点的横坐标的集合。

例2：设函数f（x）=（），x≤0，x，x＞0，若f（x）＞1，则x的取值范围是（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，＋∞）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式，以及借助数形结合思想解决问题的能力。

解：如图1，在同一坐标系中，作出函数y=f（x）的图像和直线y=1，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点。由f（x）＞1，得x＜-1或x＞1。答案：D。

例3：方程lgx=sinx解的个数为（ ）。

A.1B.2C.3D.4

分析：畫出函数y=lgx与y=sinx的图像（如图2）。注意两个图像的相对位置关系。答案：C。

三、利用数形结合解决数列问题

数列可看成以n为自变量的函数，等差数列可看成自然数n的“一次函数”，前n项和可看成自然数n的缺常数项的“二次函数”，等比数列可看成自然数n的“指数函数”，在解决数列问题时可借助相应的函数图像来解决。

例4：若数列{a}为等差数列，a＝q，a＝p，求a。（如图3）

分析：不妨设p＜q，由于在等差数列中，a关于n的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（p，q），（q，p），（p＋q，m）共线，设a+q＝m，由已知，得三点（p，a），（q，a），（p＋q，a+q）共线。则k=k，即=，得m＝0，即a＝0。

四、不等式与解析几何中的数形结合

在解析几何中，借助直线、圆及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点，可从图形上寻求解题思路，启发思维，难题巧解。

例5：曲线y=（0≤x≤2）与直线y=k（x-2）+2有两个交点时，实数k的取值范围是（）。

A.（，1） B.（，+∞）

C.（，1］ D.［，+∞）

分析：曲线y=（0≤x≤2）的图像是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方（包括x轴）的部分。直线y=k（x-2）+2是过定点P（2，2）、斜率为k的直线。在同一直角坐标系中，分别作出它们的图像，观察图4，符合要求的直线l介于直线l、l之间（包括l，不包括l），其中l与半圆相切，l过原点。通过计算容易求得l的斜率为1，l的斜率为，所以＜k≤1。答案：C。

例6：如果实数x、y满足等式（x-2）+y＝3，那么的最大值是（）。

A.B.C.D.

图5分析：等式（x-2）+y=3有明显的几何意义，它表示以（2，0）为圆心，r=为半径的圆（如图5）。而=则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率。如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值。由图5可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan60°=。答案：D。

应用数形结合解题时要注意以下两点：其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况作出相应的图形后，再进行讨论求解。

总之，学生要真正掌握数形结合思想的精髓，必须有深厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果只理解了几个典型习题，就认为领会了数形结合这一思想方法，是错误的。在平日的教学中，教师要紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高学生的思维能力。而且数形结合也不能只作为解题工具，只有充分揭示出数形结合的教育意义，深入挖掘其教育价值，数形结合在后续学习中才会有更旺盛的生命力，高中数学教学中数形结合提高解题能力的研究也才会有更深、更好的基础。只有这样，运用数形结合的能力才能不断提高。