应用数学知识,解决实际问题

陈佛林

《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，获得广泛的数学活动经验.因此，在数学教学实践过程中，教师要有意识地运用数学知识解决实际问题，从而优化学生的思维品质，培养其数学素质.下面举例说明.

一、通过实际问题，培养学生懂得数学价值

例1（2010年江西卷理11）：一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测，方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚，国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p，p则（）

A.p=pB.p＜p

C.p＞pD.以上三种情况都有可能

解析：p=1-0.99，p=1-0.98

∵0.99=0.9801

∴p=1-0.99=1-（0.99）=1-0.9801

∴p＜p，选B.

例2：某班设计了一个八边形的班徽，它的腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）

A.2sinα-2cosα+2

B.sinα-cosα+3

C.3sinα-cosα+1

D.2sinα-cosα+1

解析：每个等腰三角形的面积为S=×1×1×sinα=sinα

设其边长为a，则a=1+1-2×1×1×cosα=2-2cosα.

所以底边也构成的正方形面积为S=a=2-2cosα.

∴该八边形的面积S=4S+S=2sinα+2-2cosα，选A.

二、通过实际问题，让学生对自己的数学能力充满信心

例3（2010广东卷理8）：为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）

A.1025秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

解析：所有不同的闪烁共计A=120种，每次闪烁用时5秒，所以闪烁所用的时间为120×5秒，闪烁的时间间隔次数为119次，每次间隔5秒，故间隔时间为119×5秒，共需120×5+119×5=1195秒.选C.

例4：将6名志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同的场馆服务，不同的分配方案有 种.

解析：先将6位志愿者分成四组，有种分法，再将这四组分配至不同场馆有A种分法，共计A=1080种分法.

三、通过实际问题，培养学生学会数学交流

例5（2010辽宁文13）：三张卡片分别写上字母E、E、B，将这三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为 .

解析：考虑B的排列位置，知道B只可能排3个位置，BEE恰是其中的一种，因此P=.

例6（2010上海卷文12）：从一副混合后的扑克牌（52张）中随机地抽取一张，事件A为“抽得红桃K”事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=.

解析：52张扑克牌中红桃K只有一张，黑桃有13张，所以P（A）=，P（B）==，又因A，B为互斥事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=.

四、通过实际问题，培养学生解决数学问题的能力

例7（上海卷理8）：某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，，，则此人能（）

A.不能做出这样的三角形

B.做出一个锐角三角形

C.做出一个直角三角形

D.做出一个钝角三角形

解析：设三角形的面积为S，三边长度分别为a、b、c，则由题意知：×a×=S，×b×=S，×c×=S.

∴a=26S，b=22S，c=10S，∵b+c=32S＞26S=a，

∴存在这样的三角形，且a边最长.

b+c=（22S）+（10S）=584S＜（26S）=676S

∴该三角形为钝角三角形，选D.

例8（湖北卷理17）：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建个热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗用之和.

（1）求k的值及f（x）的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值.

解析：（1）设隔热层的厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）=，再由C（0）=8得k=40，因此C（x）=，而建造费用为C（x）=6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）=20C（x）+C（x）=20×+6x=+6x=+6x（0≤x≤10）.

（2）解法1：f′（x）=6-，令f′（x）=0，

=6，解得x=5，x=-（舍去）.当0＜x＜5时，f′（x）＜0；

当5＜x＜10时，f′（x）＞0.

故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）=70万元.

解法2：f（x）=+6x（0≤x≤10）

=+2（3x+5）-10≥2-10=70

当且仅当=2（3x+5）时，x=5或x=-（舍去）.

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.

总之，数学知识本身是抽象的，但它来源于生活，我们应让学生在生活实践中感知，并培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.