GM(1,1)模型在遥测缓变参数预测中的应用

金球星

摘 要:飞行器飞行试验中,遥测数据难免丢失。为了试验结果分析需要,有必要根据已获取的数据预测丢失数据。一些变化趋势稳定的缓变参数满足GM(1,1)模型的适用要求,实例计算表明预测效果良好。

关键词:灰色系统预测模型遥测数据

中图分类号:TP7 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2012)06(a)-0002-02

1 引言

飞行器飞行试验过程中,各类参数的数据通过遥测系统发回地面。遥测信号不可避免受到各种干扰而导致失锁、丢帧、误码等现象,最终造成数据丢失。为了试验结果分析需要,有必要根据已获取的数据预测丢失数据。

由邓聚龙教授于1982年创立的“灰色系统理论”是一种研究少数据、贫信息的不确定性问题的新方法。其研究对象是“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本、贫信息”的不确定性系统,并通过对部分已知信息的生成、开发,帮助人们了解、认识现实世界,实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述。数列预测是灰色系统理论的一个重要应用方面,其中最常用的预测模型是,该模型在诸多领域得到使用。[1,2]

飞行器在飞行过程中受到众多难以准确描述的因素的影响,可以认为是“部分信息已知,部分信息未知”的“灰色系统”。一些变化趋势稳定的缓变类参数的数据满足GM(1,1)模型的适用要求范围[3]。

2 GM(1,1)模型介绍

2.1 预测值计算

GM(1,1)是最常用、最简单的一种灰色模型,它是由一个只包含单变量的微分方程构成的模型。

设已知某参数的历史原始数据序列为,且序列总体呈现单调变化趋势,各因子数值同极性,通过1次累加运算后生成的数据序列为 ,式中 。则定义的灰导数为 (即原始数据)。令为数列的均值数列,即 ,则 。于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为,即

(1)

其中称为灰导数,称为发展系统,称为白化背景值,称为灰作用量,将时刻代入上式中有

(2)

令

称为数据向量,为数据矩阵,为参数向量,则GM(1,1)可以表示为矩阵方程。如果存在,由最小二乘法则有

(3)

对式(1)进行“白化默认”,得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白化微分方程为

(4)

代入数据求解该方程(最小二乘法)得

(5)

对上式进行一阶累减还原计算,可得到原始数列的灰色GM(1,1)预测模型为

(6)

从上述灰微分方程与白化微分方程的建立过程可以看出,数列对应着某个状态变量,数列对应着该状态变量的变化速率。例如,已获取某个时段飞行器滚动角参数的数据序列 ,需要去预测该参数的未来数据,则在建立模型时,取

2.2 预测值检验

令残差为,计算

(7)

如果,则可认为达到一般要求;如果,则认为达到较高的要求。

3 数据预测计算步骤

①若获取某参数x的数据点个 ,若描述状态变化量,则若描述状态变量,则 ,通过建立预测模型计算出 的預测值 。

②计算残差,残差均值,若,则认为原始数据满足使用模型的前提,能较准确预测未来数据;否则认为原始数据不满足使用模型的前提。

4 预测实例

为了说明GM(1,1)模型在飞行器缓变参数预测中的合理有效,选取某次飞行器试验中滚动角参数的10个采样点进行计算说明,10个采样点数据为x={1.7580,1.9800, 2.2020,2.4180,2.6340,2.8440,3.0360,3.2160,3.3780,3.5160}(单位:度)。以1～8个数据作为计算数据,后两个数据作为检验。

传统预测方法通常观察散点图发现数据呈现线性增长趋势,作线性回归可得,可得预测值 ,预测值的误差为 。

使用GM(1,1)模型预测计算过程与结果如下:

根据式(6)计算出滚动角的GM(1,1)模型预测值为

根据式(7)计算残差

,都远小于0.1。预测值的误差为

,远低于线性回归预测的误差。

从实例计算可以看出,使用GM(1,1)模型预测变化趋势稳定的参数能获得良好的效果。

5 结语

飞行器在飞行过程中受到众多难以准确描述的因素的影响,可以认为是“部分信息已知,部分信息未知”的“灰色系统”,飞行器飞行过程中一些变化趋势稳定的运动参数满足GM(1,1)模型的适用范围,实例计算说明预测效果良好。较准确预测某些参数的丢失数据,为充分挖掘试验数据的信息含量具有重要意义。

参考文献

[1] 邓聚龙.灰理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.

[2] 刘思峰.走向世界的灰色系统理论[C].第十届全国灰色系统学术讨论会.北京:中国教育报刊社,2002.

[3] 刘思峰,邓聚龙.GM(1,1)模型的适用范围[J].系统工程理论与实践,2005,5.