自主探索 建构模型

张雪梅

数学模型是对实际问题的数学化，也是人们以数学为工具认识具体事物、描述客观现象的最基本形式. 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型. 在教学中，教师可以通过创设情境，让学生动手操作，自主探索，发现规律，建立数学模型，实现高效学习. 下面以教学“抽屉原理”为例，谈谈自己的做法和体会.

【教学过程】

一、创设情境，激发兴趣，初步感知“抽屉原理”

师：同学们玩过扑克牌吗？（出示扑克牌）取出两张王牌，还剩几张？老师请5名同学来前面，每人任意抽取1张，老师不看，就知道这5张牌至少有两张是同花色的. （5名学生抽牌）老师说得对吗？老师为什么能作出如此准确的判断呢？这其中蕴涵着一个有趣的数学原理，就是“抽屉原理”. （板书课题）

游戏导入，激发了学生学习的兴趣，引发了学生的求知欲，让学生从扑克牌游戏中，初步体验不管怎样摸，至少有两张扑克牌花色是相同的，初步感知“抽屉原理”，为进一步建模打下基础.

二、动手操作，构建模型

（一）活动1：探讨简单的“抽屉原理”

师：要把3枝铅笔放进2个文具盒里，同学们动手摆摆看，会有什么发现？

生：我们组发现把3枝铅笔放进2个文具盒里，有4种放法：一种是一个文具盒里放3枝，一个文具盒里不放；一种是一个文具盒里不放，一个文具盒里放3枝；一种是一个文具盒里放2枝，一个文具盒里放1枝；一种是一个文具盒里放1枝，一个文具盒里放2枝. 学生边说教师边板书：（3，0）， （0，3），（2，1），（1，2）.

师：可以把（3，0），（0，3）看成是一种情况.

生：那么就有两种情况：（3，0）和（2，1）.

师：从两种情况中，同学们还有什么发现？

生：总有一个文具盒里有2枝或3枝铅笔.

师：不管怎样放，总有一个文具盒里至少有几枝铅笔？小组里交流一下.

生：不管怎样放，总有一个文具盒里至少有2枝铅笔.

师：“总有”是什么意思？（一定有）那么“至少”是什么意思？（最少）

由于数据较小，为学生自主探索提供了很大的空间，学生通过摆一摆，把抽象的数学知识同具体的实物结合起来. 学生在操作、观察、讨论、交流等活动中充分感受“3枝铅笔放进2个文具盒里”的各种情况，理解“不管怎样放，总有一个文具盒里至少有2枝铅笔”的意思.

（二）活动2：构建“抽屉原理”的一般模型

师：如果把4枝铅笔放进3个文具盒里，会有这种结论吗？请同学们动手操作，再把你的想法在小组内交流.

生：我们发现有4种情况：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），从这4种情况中能看出，不管怎样放，总有一个文具盒里至少有2枝铅笔. （生边说边在展台上操作）

生：我只用一种摆法就能得出结论，我把4枝铅笔平均放在3个文具盒里，每个文具盒里放1枝，还剩下1枝，再把剩下的这枝放进其中的一个文具盒里，所以不管怎样放，总有一个文具盒里至少有2枝铅笔. （生边说边在展台上操作）

生：我用算式的方法也能得出结论，4 ÷ 3 = 1……1，1 + 1 = 2. （师板书）这个算式表示，把4枝铅笔平均放在3个文具盒里，每个文具盒里放1枝，还剩下1枝，再把剩下的这枝放进其中的一个文具盒里，所以不管怎样放，总有一个文具盒里至少有2枝铅笔. （生边说边在展台上操作）

师：同意吗？（同意）那么把6枝铅笔放进5个文具盒里呢？还用摆吗？

生：不用摆了， 6 ÷ 5 = 1……1，1 + 1 = 2.（师板书）把6枝铅笔放进5个文具盒里，不管怎样放，总有一个文具盒里至少有2枝铅笔.

师：同学们再来看，把5本书放进2个抽屉里，会有怎样的结论呢？

生：5 ÷ 2 = 2……1，2 + 1 = 3，不管怎样放，总有一个抽屉里至少有3本书.

师：如果把14本书放进3个抽屉里呢？

生：14 ÷ 3 = 4……2，4 + 2 = 6，总有一个抽屉里至少有6本书.

生：不对，应该是 4 + 1 = 5，总有一个抽屉里至少有5本书.

师：到底是4 + 2 = 6还是4 + 1 = 5呢？4人小组讨论一下.

生：应该是4 + 1= 5. 因为14 ÷ 3 = 4 …… 2，表示把14本书平均放在3个抽屉里，每个抽屉放4本，还剩2本，再把剩下的这2本书分别放进2个抽屉里，所以不管怎样放，总有一个抽屉里至少有5本书. （生先在展台上操作，然后课件演示）

生：总有一个抽屉里至少有“商+1”本书，而不是“商+余数”本书.

师：这种现象称为“抽屉原理”. 在抽屉原理问题中，我们关键要确定“抽屉”和要放的“物体”. 同学们能总结一下我们得到的结论吗？（先独立思考，再小组讨论）

生：在有余数除法算式中，被除数是物体的数量，除数是抽屉的数量，那么总有一个抽屉里至少有“商+1”个物体.

生：物体数 ÷ 抽屉数 = 商……余数，总有一个抽屉里至少有“商+1”个物体.

在有趣的类推活动中，引导学生得出“抽屉原理”的一般模型，让学生始终处于主动探索、主动思考、自主建构的主体地位. 学生通过操作、观察、讨论、交流真正理解总有一个抽屉里至少有“商+1”个物体，从而自主建构“抽屉原理”的一般模型.

【我的思考】

1. 用具体的操作，将抽象变为直观. “总有一个文具盒里至少有2枝铅笔”这句话对学生而言即抽象又难理解，怎样让学生理解这句话呢？我让学生充分地操作，在具体操作中理解“总有”和“至少”， 在具体操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法. 通过操作，最直观地呈现“总有一个文具盒里至少有2枝铅笔”这种现象.

2. 注重建模思想的渗透. 本节课的教学，有意识地培养了学生的“模型”思想. 把课本上的例1、例2放在一起，在学生自主探索的基础上，通过类推构建“抽屉原理”的一般模型，即物体数 ÷ 抽屉数 = 商……余数，总有一个抽屉里至少有“商+1”个物体，让学生经历“数学化”的过程，培养学生的数学思维能力，实现高效学习.