自主探索 建构模型

2012-04-29 06:04张雪梅
数学学习与研究 2012年20期
关键词:扑克牌文具盒抽屉

张雪梅

数学模型是对实际问题的数学化,也是人们以数学为工具认识具体事物、描述客观现象的最基本形式. 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践,即通过抽象、简化等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型. 在教学中,教师可以通过创设情境,让学生动手操作,自主探索,发现规律,建立数学模型,实现高效学习. 下面以教学“抽屉原理”为例,谈谈自己的做法和体会.

【教学过程】

一、创设情境,激发兴趣,初步感知“抽屉原理”

师:同学们玩过扑克牌吗?(出示扑克牌)取出两张王牌,还剩几张?老师请5名同学来前面,每人任意抽取1张,老师不看,就知道这5张牌至少有两张是同花色的. (5名学生抽牌)老师说得对吗?老师为什么能作出如此准确的判断呢?这其中蕴涵着一个有趣的数学原理,就是“抽屉原理”. (板书课题)

游戏导入,激发了学生学习的兴趣,引发了学生的求知欲,让学生从扑克牌游戏中,初步体验不管怎样摸,至少有两张扑克牌花色是相同的,初步感知“抽屉原理”,为进一步建模打下基础.

二、动手操作,构建模型

(一)活动1:探讨简单的“抽屉原理”

师:要把3枝铅笔放进2个文具盒里,同学们动手摆摆看,会有什么发现?

生:我们组发现把3枝铅笔放进2个文具盒里,有4种放法:一种是一个文具盒里放3枝,一个文具盒里不放;一种是一个文具盒里不放,一个文具盒里放3枝;一种是一个文具盒里放2枝,一个文具盒里放1枝;一种是一个文具盒里放1枝,一个文具盒里放2枝. 学生边说教师边板书:(3,0), (0,3),(2,1),(1,2).

师:可以把(3,0),(0,3)看成是一种情况.

生:那么就有两种情况:(3,0)和(2,1).

师:从两种情况中,同学们还有什么发现?

生:总有一个文具盒里有2枝或3枝铅笔.

师:不管怎样放,总有一个文具盒里至少有几枝铅笔?小组里交流一下.

生:不管怎样放,总有一个文具盒里至少有2枝铅笔.

师:“总有”是什么意思?(一定有)那么“至少”是什么意思?(最少)

由于数据较小,为学生自主探索提供了很大的空间,学生通过摆一摆,把抽象的数学知识同具体的实物结合起来. 学生在操作、观察、讨论、交流等活动中充分感受“3枝铅笔放进2个文具盒里”的各种情况,理解“不管怎样放,总有一个文具盒里至少有2枝铅笔”的意思.

(二)活动2:构建“抽屉原理”的一般模型

师:如果把4枝铅笔放进3个文具盒里,会有这种结论吗?请同学们动手操作,再把你的想法在小组内交流.

生:我们发现有4种情况:(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),从这4种情况中能看出,不管怎样放,总有一个文具盒里至少有2枝铅笔. (生边说边在展台上操作)

生:我只用一种摆法就能得出结论,我把4枝铅笔平均放在3个文具盒里,每个文具盒里放1枝,还剩下1枝,再把剩下的这枝放进其中的一个文具盒里,所以不管怎样放,总有一个文具盒里至少有2枝铅笔. (生边说边在展台上操作)

生:我用算式的方法也能得出结论,4 ÷ 3 = 1……1,1 + 1 = 2. (师板书)这个算式表示,把4枝铅笔平均放在3个文具盒里,每个文具盒里放1枝,还剩下1枝,再把剩下的这枝放进其中的一个文具盒里,所以不管怎样放,总有一个文具盒里至少有2枝铅笔. (生边说边在展台上操作)

师:同意吗?(同意)那么把6枝铅笔放进5个文具盒里呢?还用摆吗?

生:不用摆了, 6 ÷ 5 = 1……1,1 + 1 = 2.(师板书)把6枝铅笔放进5个文具盒里,不管怎样放,总有一个文具盒里至少有2枝铅笔.

师:同学们再来看,把5本书放进2个抽屉里,会有怎样的结论呢?

生:5 ÷ 2 = 2……1,2 + 1 = 3,不管怎样放,总有一个抽屉里至少有3本书.

师:如果把14本书放进3个抽屉里呢?

生:14 ÷ 3 = 4……2,4 + 2 = 6,总有一个抽屉里至少有6本书.

生:不对,应该是 4 + 1 = 5,总有一个抽屉里至少有5本书.

师:到底是4 + 2 = 6还是4 + 1 = 5呢?4人小组讨论一下.

生:应该是4 + 1= 5. 因为14 ÷ 3 = 4 …… 2,表示把14本书平均放在3个抽屉里,每个抽屉放4本,还剩2本,再把剩下的这2本书分别放进2个抽屉里,所以不管怎样放,总有一个抽屉里至少有5本书. (生先在展台上操作,然后课件演示)

生:总有一个抽屉里至少有“商+1”本书,而不是“商+余数”本书.

师:这种现象称为“抽屉原理”. 在抽屉原理问题中,我们关键要确定“抽屉”和要放的“物体”. 同学们能总结一下我们得到的结论吗?(先独立思考,再小组讨论)

生:在有余数除法算式中,被除数是物体的数量,除数是抽屉的数量,那么总有一个抽屉里至少有“商+1”个物体.

生:物体数 ÷ 抽屉数 = 商……余数,总有一个抽屉里至少有“商+1”个物体.

在有趣的类推活动中,引导学生得出“抽屉原理”的一般模型,让学生始终处于主动探索、主动思考、自主建构的主体地位. 学生通过操作、观察、讨论、交流真正理解总有一个抽屉里至少有“商+1”个物体,从而自主建构“抽屉原理”的一般模型.

【我的思考】

1. 用具体的操作,将抽象变为直观. “总有一个文具盒里至少有2枝铅笔”这句话对学生而言即抽象又难理解,怎样让学生理解这句话呢?我让学生充分地操作,在具体操作中理解“总有”和“至少”, 在具体操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法. 通过操作,最直观地呈现“总有一个文具盒里至少有2枝铅笔”这种现象.

2. 注重建模思想的渗透. 本节课的教学,有意识地培养了学生的“模型”思想. 把课本上的例1、例2放在一起,在学生自主探索的基础上,通过类推构建“抽屉原理”的一般模型,即物体数 ÷ 抽屉数 = 商……余数,总有一个抽屉里至少有“商+1”个物体,让学生经历“数学化”的过程,培养学生的数学思维能力,实现高效学习.

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