用法向量确定二面角大小的三个基本关系

程映军

〔关键词〕 数学教学；法向量；二面角；符号；方向；相

关关系

〔中图分类号〕 G633.65 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0082—02

求二面角平面角的问题在传统立体几何中解决的方法较多，这也是高考的一个重要内容，但新教材对此问题有所淡化，只要求学生能用平面法向量求出二面角平面角的大小.而两个法向量的夹角与二面角的平面角到底何时相等？何时互补？教材中处理得比较含糊，要求借助于图形直观解决，实际上此法可操作性并不大，因此，到了这个部分便常常出现“老师想讲讲不清，学生能学学不透”的尴尬局面.那么，如何在判断方法上兼顾理论依据的正确性和事件操作的可行性、简捷性呢？笔者认为，只要认识清楚以下三个基本关系，我们并不需要借助其他理论工具，就能快速解决这一问题.

一、空间向量坐标的符号与向量方向的关系

一个向量的坐标并不是刻画这个向量在空间直角坐标系O-xyz中的具体位置，而是刻画向量相对于标准正交基[i][?]=（1，0，0），[j][?]=（0，1，0），[k][?]=（0，0，1）的 “分解程度”.如，将向量[m][?]=（x，y，z）分解，则此向量在x轴、y轴、z轴上的分向量依次是=（x，0，0）=x[i][?]，=（0，y，0）=y[j][?]，=（0，0，z）=z[k][?]，从而x，y，z的正负直接反映这三个分向量与对应的基底是同向还是反向，如下表：

二、平面法向量的横、纵、竖之间的相关关系

平面α的法向量的坐标之间构成正比例关系.

证明：设A0（x0，y0，z0），A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2）是平面α上任意三个不共线的点，[m][?]=（x，y，z）是平面α的法向量，则[m][?]

⊥

[m][?]⊥

?[m][?]

·=0

[m][?]·

=0?

x（x1-x0）+y（y1-y0）+z（z1-z0）=0

x（x2-x0）+y（y2-y0）+z（z2-z0）=0 ，解得

y=-x，z=-x

y1-y0z1-z0

y2-y0z2-z0 ≠0. 记λ1=-，

μ1=-，则[m][?]=（x，λ1x，μ1x）=x（1，λ1，μ1）；

同理， λ2=-， μ2=-x1-x0z1-z0

x2-x0z2-z0 ≠0，则[m][?]=（λ2y，y，μ2y）=y（λ2，1，μ2）；

令λ3=-， μ3=-x1-x0y1-y0

x2-x0y2-y0 ≠0，则[m][?]=（λ3z，μ3z，z）=z（λ3，μ3，1）.

这说明，由A0，A1，A2三点唯一确定的平面α，其法向量可以由x（或y，z）唯一确定.

三、二面角的大小与两个法向量相对指向的关系

定义1：以l为棱的两个半平面α，β把空间分成两部分，其中使二面角α-l-β的平面角θ∈（0，π）的部分称为二面角的内部，另一部分则称为二面角的外部.

定义2：以平面α上任意一个不属于棱的点为起点作该平面的法向量，如果这个法向量的终点总是落在二面角α-l-β的外部，则称该法向量指向二面角α-l-β的外部，反之，称该法向量指向二面角α-l-β的内部.

有以下事实：

①当α，β的法向量[m][?]，[n][?]同时指向二面角α-l-β的内部（或外部）时，角<[m][?]，[n][?]>与二面角α-l-β互为补角（图1）.

②当α，β的法向量[m][?]，[n][?]一个指向二面角α-l-β的内部，另一个指向二面角α-l-β的外部时，角<[m][?]，[n][?]>与二面角α-l-β大小相等（图2）.

对于以上三个基本关系的阐述和证明，我们可以看到，要解决提出的问题，关键是要判断两个法向量的相对方向.而由于平面法向量的方向可以通过点坐标的行列式运算化归为一元线性表达式，所以我们只需要判断出平面法向量的任意一个坐标的符号，就可以确定法向量的相对方向，从而判断出两个法向量夹角与二面角的大小关系，实现整个问题的求解.以下举例说明该方法的具体实施过程.

例1：如图3，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a.

（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角A-VB-C的大小.

解析：（1）（2）略.

（3）取AC中点O，连接B1O，易知OB1⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.取O为空间直角坐标系的原点，以OE，OC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图4所示的空间直角坐标系.则A（0，-a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1（0，0，a）.

设平面VBC的一个法向量[n][?]=（x1，y1，z1），由[n][?]⊥

[n][?]⊥

得-ax1=0

-ay1+

az1=0，取z1=1，得[n][?]=（0，，1），此时法向量[n][?]指向二面角A-VB-C的外侧.

同理可得平面VAB的一个法向量[m][?]=（2，-，1），此时，法向量[m][?]指向二面角A-VB-C的内侧.

∴cos==-.

所以，二面角A-VB-C的大小为arccos-.

例2：在正方体中，二面角的大小为.

解：如图5，A1C1⊥面BB1D1，A1D⊥面BAD1，所以直线A1C，A1D的方向向量分别为BB1D1和BAD1的法向量，分别令[n1][?]=，[n2][?]=，设正方形的边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，1）， C1（-1，0，1），D1（-1，-1，0）.

∴ =（-1，-1，0）， ||= ， =（-1，-2，-1），||=， ·=3.

∴cos<，>==.

即向量，的夹角为30°，由于，的指向都是向着二面角外，所以二面角A-BD1-B1与向量，的夹角互补，所以二面角A-BD1-B1的大小为150°.

?? 编辑：刘立英