用线性映射的理论解决线性方程组问题

李晓琴

【摘要】本文用线性映射的观点解决了线性方程组的三个基本问题：解的存在性、解的数量、解的结构.

【关键词】线性映射；线性方程组；解的存在性；解的数量；解的结构

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一、线性映射

1. 相关概念

定义1 设V，W是数域F上的两个向量空间，如果映射：τ：V→W满足

τ（aα+bβ）=aτ（α）+br（β），α，β∈V，a，b∈F，则称τ是V到W的一个线性映射.

定义2 向量空间V在τ之下的象集是W的一个子集，叫作τ的象，记作Im（τ），即Im（τ）={τ（α）|α∈V}.

定义3 把W的零子空间{0}在τ之下的原象的集合，叫作τ的核，记作核（τ），即核（τ）={α|α∈V，且τ（α）=0}.

2.基本性质

设τ是数域F上向量空间V到向量空间W的一个线性映射.

性质1 Im（τ）是V的一个子空间，核（τ）是W的一个子空间.

性质2 设α1，α2，…，α璶是向量空间V的一个基，

则Im（τ）={a1τ（α1）+a2τ（α2）+…+a璶τ（α璶）|a璱∈F，i=1，2，…，n}=L（τ（α1），τ（α2），…，τ（α璶））.

性质3 设dimV=n，则dim Im（τ）+dim核（τ）=n.

以上性质在一般的高等代数教材中均有证明，在此不予证明.

二、线性方程组理论

一般线性方程组的基本问题有三个：解的存在性、解的数量、解的结构.下面我们用线性映射的性质来解决这些问题.

设数域F上的n元线性方程组为

a11X1+a12X2+…+a1nX璶=b1，

a21X1+a22X2+…+a2nX璶=b2，

……

a璵1X1+a璵2X2+…+a璵nX璶=b璵.

（1）

简记为AX=B，其中A为（1）的系数矩阵，B=（b1，b2，…，b璵）琓，X=（X1，X2，…，X璶）琓.

定义 τ：α|→Aα，α=（a1，a2，…，a璶）琓∈F琻.

由定义1容易得τ是向量空间F琻到F琺上的一个线性映射，并且

τ（α）=Aα，α∈F琻；Im（τ）=L（A1，A2，…，A璶）；dim Im（τ）=秩（A）.

其中，A璱=（a1i，a2i，…，a璵i）琓∈F琺，（i=1，2，…，n），A=（A1，A2，…，A璶）.

1.齐次线性方程组AX=0的解及结构

由上述向量空间F琻到F琺上的一个线性映射τ的定义可知：对于α∈F琻，α是AX=0的解当且仅当α是核（τ）中的元素，因此，AX=0的解集就是核（τ）.于是，我们有

结论1 AX=0只有零解诤耍é樱={0}赿im核（τ）=0赿im Im（τ）=n谥龋ˋ）=n.

结论2 AX=0有非零解贏x=0有无穷多个解赿im核（τ）>1谥龋ˋ）

当AX=0有非零解时，设γ1，γ2，…，γ璼是向量空间核（τ）的一个基，那么AX=0的全部解构成的集合为{a1γ1+a2γ2+…+a璼γ璼|a璱∈F，i=1，2，…，s}.

2.线性方程组AX=B的解及结构

AX=B有解，则存在α∈F琻，使得τ（α）=Aα=B∈F琺，所以

结论3 AX=B有解贐∈Im（τ）贐可以由A1，A2，…，A璶线性表示谥龋ˋ）=秩（A1，A2，…，A璶，B）=秩（A1，A2，…，A璶）=秩（A）.

设α0是AX=B的一个固定解，对AX=B的任意解γ，令α0-γ=β，则β是AX=0的解，所以，AX=B的解的集合是{α0+β|β∈核（τ）}.于是

结论4 AX=B有且仅有一个解贏X=B有解且AX=0只有零解谥龋ˋ）=秩（A）=n.

结论5 AX=B有无穷多个解贏X=B有解且AX=0有无穷多个解谥龋ˋ）=秩（A）

因此，当线性方程组AX=B有无穷多个解时，它有解集为：

{α0+a1γ1+a2γ2+…+a璼γ璼|a璱∈F，i=1，2，…，s}.

其中，α0是AX=B的一个固定解，γ1，γ2，…，γ璼是向量空间核（τ）的一个基，即γ1，γ2，…，γ璼也是AX=0的一个基础解系.