大的偶数都可表为两个奇素（质）数之和正确性的奇妙证明（2012年完整版）

沈逸轩

现将大偶数都可表为两个奇素（质）数之和的奇妙证明，分三方面叙述如下.

一、260多年的研究简要历史

以史为鉴，知兴替.1992年获中国图书一等奖和最优秀十大畅销书之一的《中国少年儿童百科全书.科学技术卷》等有关科普著作介绍，哥德巴赫猜想260多年的研究简要历史如下.

1742年，德国数学家哥德巴赫给大数学家欧拉（Euler，1707—1783）的一封信中提出一组数学猜想，这组数学猜想最后归结为：每一个2N≥6的偶数都可表为两个奇素数之和.欧拉用相当精力研究后，回信说，这个猜想是正确的，但不能证明.

1900年在巴黎召开的第二次国际数学家大会上，誉为古今中外十大数学家之一的德国的希尔伯特（Hilbert，1862—1943）在大会报告中，提出了20世纪全世界数学家需要共同努力解决的23个问题，其中第8个问题是素数问题，其中包括哥德巴赫猜想.

1912年在英国剑桥召开的第五次国际数学家大会上，来自德国哥廷根大学的著名数学家兰道指出：在数论领域中，有四个难题以当时的数学水平是不可能很快解决的，这四个难题中包括“哥德巴赫猜想”.

1920年，挪威数学家布朗用古老的“筛法”证明了“每一个大偶数是二个素因子都不超过九个的”数之和，俗称（9+9）.1958年中国王元证明了（2+3）.用此法证明的成果有一个弱点，就是其中的二个数没有一个是可以肯定为素数.

1948年，匈牙利数学家兰恩易仍主要用“筛法”证明了：每一个大偶数都是一个素数和一个“素因子不超过六个的”数之和，即他证明了（1+6）.1962年，中国潘承洞证明了（1+5）.同年，中国王元、潘承洞证明了（1+4）.1956年，布赫斯塔勃、维诺格拉多夫和庞皮艾黎证明了（1+3）.1966年，中国陈景润（1933—1996）证明了（1+2）.当时论文长达两百多页，不断简化后，1973年才发表.

陈景润在《初等数论Ⅰ》（科学出版社，1978年12月）第9页写道：“这个哥德巴赫猜想直到现在还没有肯定的或否定的答案，我们认为哥德巴赫猜想是肯定的可能性很大.这个问题现在最好的结果是：每一个充分大的偶数都是一个素数及一个不超二个素数的乘积之和.华罗庚、王元、潘承洞、丁夏畦、尹文霖和陈景润都曾经在这方面进行过不少工作.”

1986年，英国出了本书——《数学新的黄金时代》（基斯·德夫林著，李文林等译，上海教育出版社，2001年11月），2001年11月再版时，世界级著名数学家陈省身在第2页作序为：“开创新世纪的数学文化.”该书第6页写道：“计算机已对100，000，000以下的所有偶数作了验算，证明对于这些数哥德巴赫猜想成立；但是时至今日，还没有适当的办法证明整个猜想的正确性.”

以上就是1742—2007年哥德巴赫猜想研究的简要历史.

二、奇妙的证明和一个推论

为了证明大偶数都可表为两个素数之和的正确性，用中国孙子兵法的“以正合，以奇胜”的思维，引入比尔·盖茨（Bill Gates，1955—）在《未来之路》一书中，提倡的“技术上相互兼容”的原则，启用构建新函数等新思维，建立如下7个引理.

引理1 引用韦达（Vieta，法国，1540—1603）定理和逆定理，构造方程

X2-2NX+P4P5=0.（1A）

当正整数2N≥6，则方程（1A）有N组P4，P5都是正整数的解.

证 据《初中三年级数学》一书（杨骞主编，科技文献出版社，2003年3月）第50页，方程（1A）有两个正整数根的判定公式是：

Δ=（2N）2-4P4P5=m20.（1—1）

（1—1）式中，m0为非负整数，（1—1）式可化为：

N2-P4P5=m2.（1—2）

（1—2）式中m为非负整数，可化为：

N2-m2=P4P5=（N-m）（N+m）. （1—3）

由（1—3）式得出：当m=0，1，…，（N-1）都有非负的P4，P5整数解，共有N组，引理1证毕.即（1）式有N组正整数解，且P4P5可表为N组正整数解的乘积.

当能证明N组解中，有一组P4，P5都是奇素数，则据韦达定理和逆定理，方程（1）成立，本题获证.以下据此思维进行探索.

引理2 正整数正因数个数d（n）定理.设a ， b是二个正整数，且a， b互素，a，b的标准分解分别为：a=ρ瑇11…ρ瑇璶璶，b=δβ11…δβ璶璵，其中ρ1…ρ璶，δ1…δ璵都是素数，而

χ1…χ璶，β1…β璵都是正整数，则a乘b的正因数的个数d（ab）=d（a）·d（b）=（x1+1）…（x璶+1）（β1+1）…（β璵+1）.

（2A）

证 此定理引于陈景润《初等数论Ⅱ》（科学出版社，1980年5月），详细证明见该书79～80页.北京景山学校编《中学生百科知识日读（下）》（知识出版社，1983年）582～583页也给出了相应知识和公式.

当N≥3是常数，可用（2A）式求出N组解的d（p4p5），以m为横坐标，d（p4p5）为纵坐标，成不连续的波浪状点，以下构造方程，求d（p4p5）的最小值.

引理3 一元连续函数的介值定理.假若f（X）在区间[a，b]上连续，f（a）≠f（b），而C是介于f（a）与f（b）之间的任一值，那么[a，b]上至少有一点X1，满足f（X1）=C.

证 此定理引于《一元函数微分学》（赵慈庚，上海科技出版社，1980年7月）221～223页.由《大学生数学手册》（郭大均主编，山东科技出版社，1985年9月）128页，闭区间上连续函数的介值性也得出同样成果.

引理4 陈氏定理，每一个充分大的偶数都是一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和.

证 引于《初等数论Ⅱ》（陈景润，科学出版社，1978年12月）第9页.

据陈氏定理，由（1）式得：2N=P1+P2P琸璶.（1—1）

（1—1）式中，当2N≥6，P1，P2，P璶都是素数，k=0或1.

引理5 构建初等函数方程

f（m）=N2-m2=P1P2P琗璵璶.（3A）

其中：正整数N≥3是常数，0≤m≤（N-1）是连续变数，P1，P2，P璶是素数，P1，P2指数为1，0≤X璵，1≤P琗璵璶=N2-m2[]P1P2.

证 据“高级中学课本微积分初步（甲种本）”（人民教育出版社数学室，人民教育出版社，1985.9，33～150页，下称高中课本），当1≤P琗璵璶定义在0≤X璵，P琗璵璶是基本连续函数，取值在[1，+∞＼），故是P琗璵璶取值范围内，据引理3.

P琗璵璶=N2-m2[]P1P2成立，故（3A）式成立，即：

1≤N2-m2[]P1P2，f（m）=P1P2P琗璵璑=N2-m2.（3A）

上述（3A）式有两个重要特性.

3—1 据高中课本33～35页连续函数知识，上述（3A）式是一个在0≤m≤（N-1）定义域上的连续函数.

3—2 （3A）式求d（m）最小值时符合引理4，表述极小值的要求.

因为由（1—1）式和（3A）式，可得：

N2-m2=P1P2P璑琄，其中K在（3A）式X璵定义范围内.

引理6 据引理2和引理5，求f（m）方程的d（m）值的方程可表为：

d（m）=（1+X1）（1+X2）（1+X璵）=41+ln（N2-m2）-lnp1p2[]lnp璶

.（4A）

证 由于（3A）式中，X1=X2=1，故

（1+X1）（1+X2）=4.（4 —1）

由（3A）式得：

N2-m2=P1P2P琗璵璶.（3A）

（3A）式两边取自然对数，化简后，得：

X璵=ln（N2-m2）-lnP1P2[]lnP璶.（4 —2）

将（4 —1）和（4 —2）代入（4A），（4A）式成立.引理4证毕.

引理7 方程（4A）的d（m）的最小值中必有一个为4或3.

证 为求方程（4A）的d（m）的最小值，当N≥3为常数，0≤m≤（N-1），m为主变量，据高中课本33～35页，（4A）式是一个初等连续函数，用高中课本73页求商的导数公式，得（4A）式d（m）的导数是：

d′（m）=4[ln（N2-m2）-lnP1P2]′lnP璶-[ln（N2-m2）-lnP1P2]ln′P璶[]ln2P璶.（5 —1）

据高中课本133～144页的知识为求（4A）式d（m）最小值，令导数d′（m）=0，得：[ln（N2-m2）-lnP1P2]′lnP璶=[ln（N2-m2）-lnP1P2]ln′P璶.

（5 —2）

由（5 —2）式，当P璶=1，lnP璶=0；同时据（3A）式，当P璶=1，N2-m2=P1P2，即：ln（N2-m2）=lnP1P2.

故（5 —2）式两边同时为0，即（5 —2）式成立.

故P璶=1，是导数d′（m）=0的一个解.用（4A）式求d（m）最小值，涉及0[]0的不定值高难度求解.故改用（3A）式求d（m）.由（3A）式，当P璶=1，则

N2-m2=P1P2.

（5 —3）

由引理2，得P1P2的d（m），当P1≠P2，d（m）=（1+1）（1+1）=4，当P1=P2，d（m）=（1+2）=3.引理7证毕.

由于引理1，2，3，4，5，6和7成立，故（1）式成立，即哥德巴赫猜想成立.表述如下：

由于N≥3为整数，P1，P2是素数，用（5 —3）式，两边乘4，得：

（2N）2-（2m）2=4P1P2.（6 —1）

即：（2N）2-4P1P2=（2m）2=m20.（6 —2）

用（6 —2）式与引理1中的（1 —1）式对比，得：

X2-2NX+P1P2=0.（6 —3）

对比（6 —3）与引理1中的（1A）式，据韦达定理与逆定理，知素数P1，P2是（1A）式的两个正整数根.

故有P1，P2是（1）式的一组解，故：

2N=P1+P2=P4+P5.（6 —4）

由于2N≥6，且为偶数，偶素数只有2，因此必有一组P1，P2均为奇素数.故每一个2N≥6的偶数都可表为两个奇素数之和成立.

1742年提出的哥德巴赫猜想正确性得到奇妙的证明.

从以上证明得出一个推论：乘法公式

N2-m2=（N+m）（N-m）=P1P2.

在整数范围内（N，m，P1，P2都是整数），对每一个正整数N≥3，必有一个表法是唯一的表达式.即：P1=（N+m），P2=（N-m）是素数.

三、三个对比和三个价值

1.三个对比

陈景润定理是本命题研究2007年前的最好成果，与本研究成果进行三方面比较如下.

（1）使用基本方法的比较.陈景润成果用“筛法”为基本方法，誉为“筛法”的“光辉顶点”.本成果是用多个中学数学知识为基础，继承陈氏定理，构建新的连续函数理念，加以科学的联合运用.

（2）成果完整性比较.陈氏定理是本命题的阶段性成果，俗称（1+2），本成果是命题成果，可称为（1+1），即此命题研究已达终点.

（3）成果可读性和文稿长短的比较.陈景润定理只有少数高级数论大师才能看懂，本成果，优秀高中毕业生有2%能看懂，全世界看懂超过千万人.陈景润定理简化后仍有约两万多字，本成果全部不足五千字.

2.本成果的三个价值

本成果的三个价值是：一是用多方面中学数学知识为基础，构建新的连续函数和理念后，联合科学运用，得出奇妙的证明，丰富了数论的科研方法和内容，且千百万人能看懂，对启发知识创新有很大参考价值.二是由于古今古典世界六大数学难题，找到了奇妙证明，全部古典六大数学难题已解决，有很大历史文化价值.三是再证明了20世纪最伟大的思想家和科学家爱因斯坦（Einstein，1879—1955）一句名言的价值：据景山学校编《中学生百科知识日读》（知识出版社，1983）645页，爱因斯坦认为“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”.