高中数学中档习题解法浅析

白树

近年来各地高考数学试卷中“中档题”所占比例约为60%～70%.这类题目的难度一般高于课本习题，要准确解答该类题目，选好解题方法是关键.中档题一般牵扯到2～3个知识点，多源于课本.这类题目学生并不陌生，似曾相识，好像很易下手，但要准确解题，并非易事，需要学生牢固理解课本中的基础知识，掌握基本解题方法.现将基本解题方法作以下分析.

第一类：数形结合法

例1 设F1，F2是双曲线x2[]16-y2[]4=1的两个焦点，P是图形上的一点，且∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积S为.

分析 求Rt△的面积，只需求两直角边的积.

解 设PF1=m，PF2=n，由双曲线的几何性质可得

m2+n2=|F1F2|2=（45）2=80， （1）

|m-n|=8.（2）

这样就将形的问题通过设立未知数转化为等式问题求解.

由（2）得m2+n2-2mn=64，

将m2+n2=80代入即得S=1[]2mn=4.

第二类：换元法

换元就是变量的替换，将一种变量转换为另一种变量，使问题得到解决.

例2 求出函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

分析 可将sinx，cosx看成式子中的两个变量，找到sinx与cosx之间的关系是解决本题的关键，根据同角三角函数之间的关系，则通过换元可以解决.

解 设m=sinx+cosx，m∈[-2，2]，两边平方可得

sinxcosx=1[]2（m2-1）.

因此原来函数就转换为关于m的二次函数，通过配方得到

y=1[]2（m2-1）+m=1[]2（m+1）2-1.

又-2≤m≤2，∴当m=2，即sinx+cosx=2，

即x=2kπ+π[]4，（k∈Z）时，y璵ax=1[]2+2.

第三类：待定系数法

就是以方程的思想，将未知（待定）的系数与已知数据统一于方程之中.

例3 已知方程x4-10x3+36x2-52x+20=0有一根为3+i，解这个方程.

分析 由实系数方程的虚根共轭可知方程必有另一根3-i，由此可得

x4-10x3+36x2-52x+20=（x-3-i）（x-3+i）（x2+bx+c）.

应用赋值法可确定b，c的值.

解 先令x=0，c=20[]（-3-i）（-3+i）=2，

再令x=1，-5=（-2-i）（-2+i）（b+3），

∴b=-4.

∴x2+bx+c=0輝2-4x+2=0，x3，4=2±2.

∴原方程的四个根分别是3±i、2±2.

第四类：分类讨论法

分类既要做到必须、适时、合理、恰到好处，又要保持不重不漏，简单明了.

例4 已知集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a的值.

分析 A∪B=A，则B罙，而已知A是二元集，

∴B中元素个数不确定，因此要进行分类讨论.

解 ∵A∪B=A，∴B罙，可知A={0，-4}.

①当B=时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无实数根，则Δ=[2（a+1）]2-4（a2-1）<0，解得a<-1.

②当B为一元集时，方程有两个等实根，

则Δ=0，解得a=-1.

③当B=A时，由韦达定理可得

x1+x2=-2（a+1）=-4，

x1x2=a2-1=0，

Δ>0輆>-1.

a≤y輆=1，

a=±1輆=1，

a>-1.

综上，所求实数a的值为a≤-1或a=1.

第五类：反证法

例5 如果三个方程x2+2x+a-1=0，

x2-2（a-1）x+a2=0，

x2+x+4-a=0

至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.

分析 三个方程中至少有一个方程有实数根，情况较复杂，逐一研究过程烦琐，但其方面只有一种情况，可以从这个角度入手.

解 设三个方程至少有一个方程有实数根时，实数a的取值集合为A.

如果三个方程都没有实数根，则

22-4（a-1）<0，

[-2（a-1）]2-4a2<0，

12-4（4-a）<0.

2

瘙 綂 璘A=a2

∴A=aa≤2或a≥15[]4.

因此，当三个方程至少有一个方程有实数根时，实数a的范围是a≤2或a≥15[]4.

解数学题的方法很多，要灵活应用各种方法，必须要在以下几点上下工夫：

（1）在基础知识的学习上下功夫.（2）在能力提升上下工夫.

（3）在实际应用能力上下功夫.（4）培养良好学习习惯，提高解题的准度、速度和表述能力.