数学解题,“1”马当先

2012-04-29 01:20桑娅洁
数学学习与研究 2012年21期
关键词:原式省时省力复数

桑娅洁

【摘要】在数学解题中,恰当、灵活地运用“1”的代换,往往能使解题过程省时省力,达到出奇制胜、事半功倍的效果.本文通过举例谈谈“1”的代换在复数、三角函数及求最值方面的妙用.

【关键词】高中数学;“1”的代换;例析

一、在复数中的应用

在复数运算中,考虑到1=-i2,往往能大大简化我们的解题.

例1 (2011年全国新课标理)复数2+i[]1-2i=.

解 2+i[]1-2i=-2i2+i[]1-2i=i(1-2i)[]1-2i=i.

注 一般地,对于a,b∈R,-b+ai[]a+bi=i2b+ai[]a+bi=i(a+bi)[]a+bi=i.

例2 已知a2+2ab+b2+a2b2[]a+b+abi=27-8i[]3+2i,求实数a,b的值.

解 a2+2ab+b2+a2b2[]a+b+abi=(a+b)2-a2b2i2[]a+b+abi=(a+b+abi)(a+b-abi)[]a+b+abi=a+b-abi.

27-8i[]3+2i=(27-8i)(3-2i)[](3+2i)(3-2i)=(81-16)-(54+24)i[]9+4=65-78i[]13=5-6i.

根据两个复数相等的充要条件,可得

a+b=5,

ab=6.

解得a=3,

b=2,或a=2,

b=3.

二、在三角函数中的应用

例3 (2009年陕西理)若3sinα+cosα=0,则1[]cos2α+sin2α的值为.

分析 若先利用平方关系求出sinα,cosα的值,再代入计算,则过于烦琐.由1=sin2α+cos2α,可将1[]cos2α+sin2α化为关于sinα,cosα的齐二次式,进一步利用已知条件中sinα与cosα的关系将问题解决.

解 由3sinα+cosα=0,得cosα=-3sinα.

1[]cos2α+sin2α=sin2α+cos2α[]cos2α+2sinαcosα=sin2α+9sin2α[]9sin2α-6sin2α=10sin2α[]3sin2α=10[]3.

例4 求值:1+tan15°[]1-tan15°.

分析 由1=tan45°及原式的结构特点,考虑运用两角和的正切公式.

解 1+tan15°[]1-tan15°=tan45°+tan15°[]1-tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan60°=3.

三、在求最值中的应用

例5 (2011年重庆理)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1[]a+4[]b的最小值是.

解法1 y=1[]a+4[]b=a+b[]2a+2(a+b)[]b=1[]2+b[]2a+2a[]b+2=b[]2a+2a[]b+5[]2≥2+5[]2=9[]2,

当且仅当b[]2a=2a[]b,即a=2[]3,b=4[]3时,取等号.

故y=1[]a+4[]b的最小值是9[]2.

解法2 y=1·1[]a+4[]b=a+b[]21[]a+4[]b=1[]2+b[]2a+2a[]b+2.

下同解法1.

注 利用同样方法,我们可以得到如下一般性结论:

已知x,y>0,常数a,b,c,d>0,且ax+by=1,则y=c[]x+d[]y有最小值(ac+bd)2.

证 y=1·c[]x+d[]y=(ax+by)c[]x+d[]y=adx[]y+bcy[]x+ac+bd≥2abcd+ac+bd=(ac+bd)2.

例6 (2011年浙江理)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.

解 由4x2+y2+xy=1,得1[]2x+y2+15[]2x2=1.

设1[]2x+y=cosθ,15[]2x=sinθ,

则x=2[]15sinθ,y=cosθ-1[]15sinθ,

2x+y=4[]15sinθ+cosθ-1[]15sinθ=3[]15sinθ+cosθ=2[]510sin(θ+φ).

故2x+y的最大值是2[]510.

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