数学解题，“1”马当先

桑娅洁

【摘要】在数学解题中，恰当、灵活地运用“1”的代换，往往能使解题过程省时省力，达到出奇制胜、事半功倍的效果.本文通过举例谈谈“1”的代换在复数、三角函数及求最值方面的妙用.

【关键词】高中数学；“1”的代换；例析

一、在复数中的应用

在复数运算中，考虑到1=-i2，往往能大大简化我们的解题.

例1 （2011年全国新课标理）复数2+i[]1-2i=.

解 2+i[]1-2i=-2i2+i[]1-2i=i（1-2i）[]1-2i=i.

注 一般地，对于a，b∈R，-b+ai[]a+bi=i2b+ai[]a+bi=i（a+bi）[]a+bi=i.

例2 已知a2+2ab+b2+a2b2[]a+b+abi=27-8i[]3+2i，求实数a，b的值.

解 a2+2ab+b2+a2b2[]a+b+abi=（a+b）2-a2b2i2[]a+b+abi=（a+b+abi）（a+b-abi）[]a+b+abi=a+b-abi.

27-8i[]3+2i=（27-8i）（3-2i）[]（3+2i）（3-2i）=（81-16）-（54+24）i[]9+4=65-78i[]13=5-6i.

根据两个复数相等的充要条件，可得

a+b=5，

ab=6.

解得a=3，

b=2，或a=2，

b=3.

二、在三角函数中的应用

例3 （2009年陕西理）若3sinα+cosα=0，则1[]cos2α+sin2α的值为.

分析 若先利用平方关系求出sinα，cosα的值，再代入计算，则过于烦琐.由1=sin2α+cos2α，可将1[]cos2α+sin2α化为关于sinα，cosα的齐二次式，进一步利用已知条件中sinα与cosα的关系将问题解决.

解 由3sinα+cosα=0，得cosα=-3sinα.

1[]cos2α+sin2α=sin2α+cos2α[]cos2α+2sinαcosα=sin2α+9sin2α[]9sin2α-6sin2α=10sin2α[]3sin2α=10[]3.

例4 求值：1+tan15°[]1-tan15°.

分析 由1=tan45°及原式的结构特点，考虑运用两角和的正切公式.

解 1+tan15°[]1-tan15°=tan45°+tan15°[]1-tan45°tan15°=tan（45°+15°）=tan60°=3.

三、在求最值中的应用

例5 （2011年重庆理）已知a>0，b>0，a+b=2，则y=1[]a+4[]b的最小值是.

解法1 y=1[]a+4[]b=a+b[]2a+2（a+b）[]b=1[]2+b[]2a+2a[]b+2=b[]2a+2a[]b+5[]2≥2+5[]2=9[]2，

当且仅当b[]2a=2a[]b，即a=2[]3，b=4[]3时，取等号.

故y=1[]a+4[]b的最小值是9[]2.

解法2 y=1·1[]a+4[]b=a+b[]21[]a+4[]b=1[]2+b[]2a+2a[]b+2.

下同解法1.

注 利用同样方法，我们可以得到如下一般性结论：

已知x，y>0，常数a，b，c，d>0，且ax+by=1，则y=c[]x+d[]y有最小值（ac+bd）2.

证 y=1·c[]x+d[]y=（ax+by）c[]x+d[]y=adx[]y+bcy[]x+ac+bd≥2abcd+ac+bd=（ac+bd）2.

例6 （2011年浙江理）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是.

解 由4x2+y2+xy=1，得1[]2x+y2+15[]2x2=1.

设1[]2x+y=cosθ，15[]2x=sinθ，

则x=2[]15sinθ，y=cosθ-1[]15sinθ，

2x+y=4[]15sinθ+cosθ-1[]15sinθ=3[]15sinθ+cosθ=2[]510sin（θ+φ）.

故2x+y的最大值是2[]510.