激发三思，使课堂教学更具想象力

施莉莉

【摘要】一题多解是锻炼学生思维，激发学生潜能的有效武器之一.当下的学生太过拘泥于所谓的标准答案，习惯于“拿来主义”，长此以往必将“暗流汹涌”，功亏一篑.本文通过三个方面并结合实例讲述怎样引导学生乐于一题多解.

【关键词】放开手；沉住气；搭平台

哲学博士余潇枫教授认为：“每一名学生的脑袋都是一个‘发电机，教育的本质是引出和激发学生的潜能.无论做什么事，都应该三思，即前思、反思和当下思.”余教授的话一针见血地指出，激发三思，可使课堂教学更具想象力.当今社会，有些学生的思想犹如笼中鸟，无法自由翱翔，作为教师应改变传统的教学模式，激发学生的思维，积极引导学生进行一题多解.

一、放开手让学生去体验思考的乐趣

苏霍姆林斯基说：“在学生的脑力劳动中，摆在第一位的不是记住别人的思想而是让学生本人进行思考.”而我们老师却常常会越俎代庖，事无巨细，总想把所有的知识一字不落地装进学生的脑袋，觉得这样才算完成了教学目标.殊不知，这样学生只能被动地学习，课堂上学生毫无激情，不敢多说一句，刻板沉闷，学生无半点思维的空间.

“一千个读者心中就有一千个哈姆雷特.”教师应该放开手，改变唯我独尊、唯教参独尊、唯标准答案独尊的老思路，留给学生更多认真品味、用心揣摩、独立思考的空间.

如在介绍完两角和与差的三角函数后，我给学生准备了这么一道题：已知在△ABC中，满足tanA+tanB+3=3tanAtanB（*），且sinAcosA=3[]4，判断△ABC的形状.

学生甲分析：利用变形公式tanA+tanB=tan（A+B）·（1-tanAtanB）易得（1-tanAtanB）[tan（A+B）+3]=0，则1-tanAtanB=0或tan（A+B）+3=0，而当1-tanAtanB=0时，代入（*）得tanA+tanB=0，又因在△ABC中，易得A+B=π，所以矛盾.那就只能tan（A+B）+3=0，利用诱导公式可知C=60°.再将sinAcosA=3[]4两边平方得sin2Acos2A=3[]16，后用sin2A+cos2A=1进行转化易得cos2A=3[]4或1[]4，因为sinAcosA=3[]4>0，00得cosA>0，cosA=3[]2或1[]2得A=30°或60°，当A=30°时B=90°，矛盾，当A=60°时B=60°，此三角形是等边三角形.这时有的学生啧啧称赞，也有学生认为这种方法容易做错，当中有好多“地雷”，如容易将1-tanAtanB=0约掉，想不到用sin2A+cos2A=1转化等.我很欣喜我的学生能用辩证的观点去看待问题，能对如此精致的答案说“不”，那代表他们会想着去探求更适合自己的方法.

学生乙分析：利用两角和的正弦，让sinAcosA=3[]4的两边同时乘以2，得sinAcosA+sinAcosA=3[]4，sin（A+A）=3[]2=sin2A，易得A=30°或60°，后回代入（*）解出tanB，再求出B，也可得此三角形是等边三角形.课堂里又开始议论纷纷.“这种方法更赞.”“回代入（*）避免了繁杂的运算.”“想不到两边乘以2，方法的技巧性好像太强了”……我非常惊喜于学生的表现，我不急于向学生解释为何两边乘以2，事实上学了倍角公式的正弦后就能迎刃而解.我惊喜，因他们能不入俗套，想到回代的方法，更惊喜，他们对倍角的正弦公式来历有了不同的演绎.这些惊喜绝不可能来自于所谓的标准答案，而应该得益于学生积极且活跃的思维.我越来越期待他们更精彩的表现.

学生丙分析：利用熟悉的弦化切，将sinAcosA=3[]4变形为sinAcosA[]sin2A+cos2A=3[]4，等式左边分子和分母同时除以cos2A，易得新方程tanA[]tan2A+1=3[]4，可直接解出tanA，回代入（*）求出tanB，经检验后得等边三角形.教室内突然间出奇的安静，他们还在尝试.“解这个新方程有点难啊.”有人在窃窃私语，“但这种弦化切的方法容易想到！”

学生丁分析：能否将sinAcosA=3[]4中的3[]4直接拆成1[]2×3[]2，变形得sinAcosA=sin60°cos60°，A=60°呢？教室内沸腾了，“这样解题有缺陷.”“拆法不唯一吧.”……此刻下课铃声已响起，但同学们仍在忘我地讨论，激烈地争辩.

其实只要老师能进行有效的提问，营造宽松而和谐的课堂氛围，最大限度地让学生去探索，尊重学生的思路，反而有利于激发学生的积极思维使他们敢于主动体验思考的乐趣.

二、沉住气让学生感悟攻克的艰辛

古人云：“天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，增益其所不能.”上帝给你的礼物越大，用来包裹的问题就越大.想让学生得到更大的成功，必先让学生去感悟攻克的艰辛.

攻克问题的过程是一个亲身实践的过程.它能激发学生的学习积极性，增强学生的自信心，提高团结协作能力，增加一题多解的可能性，有利于学生的自身发展.

如苏教版必修5数列章节中的例题：某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm，满盘时直径120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1 m）？

课本给出的详细答案是：卫生纸的厚度为0.1 mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总合.

由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95.

因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.

因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则59.95=20.05+（n-1）×0.1，所以n=400.

显然，各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列.根据等差数列的求和公式，得S=400×40.1π+400×（400-1）[]2×0.2π=32000π（mm）.

答：满盘时卫生纸的长度约为100 m.

分析 该种解法容易将数列的首项和末项弄错，导致全盘皆输.

而数列对学生而言本就是难点，于是我将全班分成六组，任务是利用课余寻求新方法解决该题，并每天检查他们的进展.其间有的组从家里带来了卷筒纸仔细观察，有的组展开量了一下发现一般的卷筒纸长度大概都是100米左右，有的组跑来求给一点提示.“仔细观察观察，充分发挥你们的空间想象力吧！”我满怀信心地说.时间一天天过去了，看着他们把卷筒纸展开又卷起，“呀，第二组的圆柱体越来越瘦了嘛.”我打趣道.“卷纸被人拿去上厕所了.”“不是卷纸，是长方体吧？”同学们七嘴八舌，笑声一片.“前些天，有人向我要提示，现在好像没必要了，你们都已看出圆柱体和长方体了，进展很快啊！”他们一开始还面面相觑，后来有人恍然大悟：“体积相等.”我知道他们已明白我话中的玄机了.第二天，他们给了我答案.

学生分析 （如图）利用卷筒纸展开前后的体积相等.展开前的体积=大圆柱的体积-小圆柱的体积，展开后成长方体.设卷筒纸的高为h（mm），满盘时卫生纸的总长度为x（mm），易知大圆柱的体积-小圆柱的体积=π×602×h-π×202×h，长方体体积=x×0.1×h，由题意得π×602×h-π×202×h=x×0.1×h，x≈100（m）.

虽为了得到答案花了那么长时间，但同学们学会了实验、观察、共同协作，他们得到的不仅仅是“答案”，更会明白只有永不止步进行艰辛的攀登才会看到最美好的风景.

三、搭平台提升学生创新的欲望

荷兰数学家弗赖登塔尔强调：“注重培养和发展学生从客观现象找出数学问题的能力，进行再创造.”创新思维有助于学生个性优势的充分发挥，挣脱固有思维的束缚.

教师应积极地为学生搭建平台，给学生预留好起点和跳板，注意新旧知识的衔接，层层诱导，提升学生创新的欲望.

如2011年理科数学（新课标全国卷）第13题：若变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤9，

6≤x-y≤9，则z=x+2y的最小值为多少？

分析：这是一道典型的线性规划题.作出可行域如图阴影部分所示，由y=-2x+3，

y=x-9，解得A（4，5）.当直线过A点时取最小值，将A（4，5）代入，得zmin=4+2×（-5）=-6.

我特意先让学生在草稿纸上画出可行域后，互相交流一下画图的感想.普遍反映是坐标轴上标的数字太大，画出的平行四边形又太小，画图花的时间太长.而后我引入变题：已知不等式组3≤a≤9，

6≤b≤9，

a+b的范围是多少？“9≤a+b≤18.”同学们异口同声道.他们都觉得过分简单.我又追问：“若设2x+y=a，x-y=b后，这样的a，b与z会有联系吗？”一番思考后，学生分析：设z=m（2x+y）+n（x-y），易知m=1，n=-1.即z=a-b，易得zmin=3+（-9）=-6.我开始抛“绣球”，“若今年轮到你去出高考试卷，编一道涉及此知识点的考题吧！”从他们跃跃欲试的兴奋表情看得出，等待我的应该是“八仙过海，各显神通”.

适度的平台提升了学生自行找到答案的能力，并让学生的思维上升到一定的高度，必然能使学生看得更远，想得更深.

寻求一题多解的过程固然艰辛，但人生路上我们也可能会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、欺凌、碾压.“宝剑锋从磨砺出.”只要我们记住蜘蛛不会飞翔，但它照样可以把网结在空中，奇迹永远会为执着者敞开一扇门.