浅谈数学期望在经济生活中的应用

江秉华

【摘要】数学期望在社会经济生活中应用十分广泛，涉及经济、生活、法律、医学、体育等诸多领域，例如资金投资问题、决定生产批量问题、商品流通问题、试验决策问题、机器故障问题、彩票、保险、求职问题、民事纠纷问题、疾病普查问题、竞赛选拔问题等等.本论文将初步从上列领域中进行研究数学期望的应用，探索运用数学期望解决各类问题的可行性和简便性.

【关键词】数学期望；经济；生活；应用

【中图分类号】021

1.引 言

数学期望的定义：

设随机变量ξ的分布列为

若А苅xipi<∞，则称ξ的数学期望存在，记为Eξ=А苅xipi，否则称ξ的数学期望不存在.

2.数学期望在产品销售问题中的应用

例1 设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X（吨）服从区间[2000，4000]上的均匀分布.若售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不出而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元.问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？

解 设预备这种商品y吨（2000≤y≤4000），则收益（万元）为

当y=3500吨时，上式达到最大值.所以预备3500吨此种商品能使国家的收益最大，最大收益为8250万元.

3.数学期望在商品流通问题中的应用

例2 春季某服装店计划订购一批夏季服装，根据以往经验来预测，这批新服装销售量为40，100，120（件）的概率分别为0.2，0.7，0.1，这件夏季服装的订购价为60元，销售价为100元，如果夏季售不出以后处理每件为40元，试由概率统计知识来预测应订购多少件新服装？

分析 售出一件服装能得到利润40元，处理后剩书则将亏损20元，为决定进货量，应先求出在不同销售量时盈利的数学期望.

解 （1）订购40件，销售40件，盈利为40×（100-60）=1600（元），

则：Eξ1=1600元.

（2）订购100件，销售40件、100件，盈利分别为40×100-100×60+60×40=400（元），

100×（100-60）=4000（元），

则：Eξ2=400×0.2+4000×0.7+4000×0.1=4000（元）.

（3）订购120件，销售40件、100件、120件时的盈利分别为40×100-120×60+80×40=0（元），100×100-120×60+20×40=3600（元），

120×（100-60）=4800（元），

则：Eξ3=0×0.2+3600×0.7+4800×0.1=3000（元）.

根据盈利的数学期望大小，决定订100件这样的夏季服装.

4.数学期望在试验决策问题中的应用

例3 假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系：

T=-1， 若X<10，

20， 若10≤X≤12，

-5， 若X>12.

问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

解 E（T）=-P{X<10}+20P{10≤X≤12}-5P{X>12}=-P{X-μ<10-μ}+20P{10-μ≤X-μ≤12-μ}-5{X-μ>12-μ}=-φ（10-μ）+20[φ（12-μ）-φ（10-μ）]-5[1-φ（12-μ）]=25φ（12-μ）-21φ（10-μ）-5.

两边取对数有

由此可得，当μ=10.9毫米时，平均利润最大.

5.数学期望在有奖销售中的应用

例4 某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金额分别为：10000元、1000元、100元、10元、1元.假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为：0.01%，0.15%，1.34%，10%，88.5%，求每次摇奖摇出的奖金额平均值.

解 每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的分布律为

可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足6元.这个值对商店作计划预算时是很重要的.

6.数学期望在日常生活中的应用

例5 某人回家探亲购买了上午9点的火车票，当日上午8：50从家乘汽车到火车站，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4，遇到红灯汽车需要等候5分钟，问此人能否在9点前到达火车站不耽误上火车？

解 设X为途中遇到的红灯的次数，易知X～b（3，0.4），故

P{X=k}=Ck30.4k0.63-k，（k=0，1，2，3）.

则X的分布律为：

0.4=1.2，所以此人到达车站时间为8：56，能够按时上火车.

【参考文献】

[1]魏宗舒等编.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，2001.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅编.概率论与数理统计（第三版）[M].浙江大学出版社，2003.

[3]孙荣恒编著.应用概率论（第三版）[M].科学出版社，2001.

[4]刘淑环.数学期望在民事纠纷中的应用[J].数学的实践与认识，2007.