均值不等式在一个问题解决中的应用

毕德毅 逯艳

问题：求证++…+＞1

由于此问题是一个与自然数有关的命题，因此可以使用数学归纳法解决.又由于此问题左端可看做一函数（数列），因而可通过构造函数的方式解决.在此，本文主要讨论使用均值不等式来求解.

均值不等式：设a，a，…，a是n个正数，则

≤≤≤

即调和平均值H（n）≤几何平均值G（n）≤算术平均值A（n）≤均方根平均值Q（n），

等号当且仅当a=a=…=a时成立.

（1）几何平均小于算术平均

++…+

≥（2n+1）

=

而≥1，k≤n

∵（n+k）（3n+2-k）≤（）=（2n+1）

当且仅当n+k=3n+2-k，即n=k-1时，取等号，而n=k-1≤k，所以不能取等号.

∴＞1

∴>1

∴++…+>1

（2）调和平均小于算术平均

++…+≥==1

当且仅当==…=时取等号，故等号取不到.

∴++…+＞1

（3）算术平均大于几何平均

∵+＞2＞2=

+＞2＞2=

……

+＞2＞2=

∴++…+＞+=1

基金项目：山东省研究生教育创新计划资助项目资助（课题编号SDYY11154）；鲁东大学—烟台市教育局校地联合教学改革项目成果（课题编号412——20101206）。