三角函数求最值的方法

张贵成

题型1利用有关三角公式化简求最值。

例1若f（x）＝cos4x-2sinxcosx-sin4x。（1）求f（x）的最小正周期。（2）若x∈〔0,〕，求f（x）的最大值、最小值。

解：f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)( cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= cos(2x+)，所以f（x）的最小正周期T= = ?仔。

（2）因为0≤x≤，所以≤2x+ ≤。

当2x+= 时，cos（2x+）取得最大值；

当2x+=?仔 时，cos（2x+）取得最小值-1。

所以f（x）在〔0，〕最大值为1，最小值为- 。

例2已知函数f（x）＝ cos2x＋sinxcosx+1，x∈R。求当取最大值时，自变量Ｘ的集合？该函数图像可由f（x）＝cos2x+经过怎样的变换得到？

解：f（x）=cos2x+sin2x+=sin(2x+)+， 所以f（x）的最大值为，这时2x+=+2k?仔，x=+k?仔，x的集合为｛x|x=+k?仔｝。

由f（x）＝cos2x+向右平移个单位得f（x）=sin(2x+)+。

题型2 利用配方法或换元法把三角函数的最值转化为二次函数的最值。（注意区分有限制条件和无限制条件两种类型以及隐含条件的挖掘）

例３已知函数f（x）=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤?仔)，求函数Ｙ的最值。

解：令t=sinθ-cosθ=sin(θ-)，因为θ∈[-，]，所以t∈[-1，]。

则t2=1-2sinxcosx，2sinxcosx=1-t2， f(x)=1-t2+t=-(t-)2+。

当t=时，f（x）的最大值为，

当t=-1时，f（x）的最小值为-1。

例４ 设函数f（x）＝sin2x+acosx+a-(0≤x≤ )的最大值为1，求a的值。

解：f（x）＝sin2x+acosx+a-=-cos2x+acosx+a-，

令t=cosx，则t∈[0，1]，

f（x）＝-t2+at+a-=-(t-)2+(+a-)。

分情况讨论：

（1）当a<0时，f（x）的最大值为1，a无解；

（2）当0

（3）当a>2时，f（x）的最大值为1，a无解。

综上所述：a= 。

题型3与平面向量、三角形相结合求最值。

例5三角形ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos取得最大值，并求最大值。

解：由A+B+C=?仔，得=-，所以cos=sin，

cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin=-2（sin-)2+。

当sin=时，即A=时，cosA+2cos取得最大值。

（唐山市丰南区唐坊高中）