从学生的层面看数学概念的学习

刘金晓

【摘要】目前重解题轻概念、重结论轻过程的现象很普遍，这样数学概念的学习就长期处在一个被忽略的地位，不少同学也就忽视了数学概念的学习，而事实上数学概念是数学学科的精髓和灵魂，是学生进行计算、解题的依据，也是培养学生数学思维的良好素材.因此，在新课程改革教学中抓紧抓好概念的学习是非常重要的.本文从学生的层面谈谈数学概念的学习.

【关键词】概念；学习

一、建构主义的概念学习

建构主义的最早提出者是瑞士心理学家皮亚杰，他对于建构主义的基本观念是：儿童在和四周的环境相互影响时，慢慢获得有关大千世界的知识，这样自己的知识结构得到了发展.其中相互作用涉及三个基本过程：同化、顺应和平衡、个体将外部刺激所提供的信息整理到自己已有的认知结构的过程叫做同化.顺应指个体原有的认知结构受到外部刺激而发生变化的过程.平衡指个体通过自我调节使认知发展从一个平衡点到另一个较高平衡点变化的过程.他认为，人类智慧的实质，就是同化和顺应间的平衡过程，个体受到新的刺激时，就会用原有图示去同化.若成功，就会出现短时间的平衡；若不成功，个体就会调动以前的图式或新建一个图式，直到最后认知上达到新平衡.儿童的认知结构就是在“平衡——不平衡——新的平衡”的循环中不断地丰富、提高和发展的.建构主义教学论的本质：建立一类认知结构就是学习.建构主义对概念学习的积极方面：(1)数学概念是一个主动建构的过程，并不是客观实在被主体简单的、被动的反映；(2)在建构的过程中主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用，并处于不断的发展之中.

二、学生已有的经验

学生已有的经验来自学校学习和日常生活，它对新概念的学习有积极作用和消极作用.

1被极作用

因为数学知识之间本身是有连续性的，又根据皮亚杰的认知发展的理论，学生在学习数学概念时往往是从原有的认知结构来出发去理解和区分事物的各种联系及性质，若成功，就获得短暂的平衡；若不成功，学生就会建立新的认知结构或调节已有的认知结构，去顺应新概念，最终获得成功.因此学生要想牢固掌握所学新概念，就必须依靠原有认知结构中的有关知识和经验.理解概念本质的前提是丰富的经验，一名学生的认知结构越完善，表明他的生活经验就越丰富，这样获得概念的效果更好.因此学生在数学学习中，一定要学好前面的知识，否则就会影响后续的学习，因为学习者如果不具备与新概念有关的知识就很难全面认识和理解新知识，此时新旧知识又出现了断链，形成了不连通的网络，如果再继续下去，就会出现更大面积的破网，所以学习的基础很重要.

2毕极作用

日常概念具有模糊性、广泛性和多义性，很容易导致学生错误理解数学概念，因为有些概念的日常用语的含义和数学的实质不一致，例如数学中的“或”“和”等概念，这样就会使得学生在掌握概念的过程中遇到困难，产生误解形成错误概念，而当学生建构了错误概念，就算学习了科学的概念，但是这种先入为主的观念依然存在于他们的潜意识里，美国著名的数学教育家戴维斯教授就曾说过这种错误观念的顽固性.另外，学生生活在客观世界中，在学校学习数学概念之前，就已经有一系列的概念和观念，但当时受到思维水平的限制，这些概念是片面的或是错误的，尽管如此，波利亚曾说明了过去的经验和知识才让我们产生好念头，因而这些前概念对学生概念的学习有很大的影响，有的概念已经在大脑里形成了一定的理论体系，即已经根深蒂固，这样它就会抵触与之相关的科学概念，就算接受了，也是一个错误概念和科学概念的混合体.例如，学生熟悉幂的运算律(ab)n=anbn，而出现了错误m2·n2=(m·n)2.又如，logaM+logaN=loga(M+N)，logaM·logaN=logaMN等.

三、学生思维定式

近年来，很多老师抱怨不少学生做概念的相关题目时“一望就会、一动就错”“眼高手低”等，这是因为学生在解题中出现了思维定式，即用原来的思维方式去学习新的概念，或者用原来的方法去理解新概念，这样就出现了一些惯性错误，这是因为已形成概念思维定式了.当概念的学习从一个层次转入另一个层次、从一个阶段转入另一个阶段时，通过表象网络等的作用，对应的思维表象、思维模式、知识网络便自觉地进行了加工，做了不恰当的推广，而很多同学则按照过去的思维，自认为是做了合理的推广，其实新的层次与原来的层次之间的差异被忽略了，因此学习的概念往往是错误的.通常概念的表象、定义及运用在各个阶段的转换过程中也会不自觉地进入思维定式而导致错误.同时随着认知层次的发展数学概念是不断改变的，这时就要求学生打破已形成的数学概念模式，去建立新概念，但是学生的思维还是陈旧的，当在新的领域里讨论问题时，思维还是不自觉地进入了限制的领域，而且同阶段的差异性之间也存在着矛盾，导致了学生学习概念的困难.例如函数概念的学习，在初中是描述的，是作为常量数学的函数，然而到了高中就可以用映射或者别的观点来描述，其核心是“对应关系”，因此，若初中过于强调这种描述性的定义，必然给高中函数的学习带来困难，因为学生的思维已经定式.

1毖生概括的能力

心理学研究表明，学生形成和掌握概念的直接前提是抽象和概括.事实上，数学概念的抽象性具有层次性的特点，因此在学习数学概念的过程中，只有按照数学概念的结构层次，让概念的学习成为一个螺旋上升的过程，让抽象程度低的概念成为高层次概括活动的具体素材，伴随着不断提高的概括活动层次，学生掌握的概念的抽象程度也被提高了，并逐渐形成了良好的结构功能的概念体系.这样学生才会准确地掌握概念的本质属性，然而很多学生有较低的抽象概括能力，他们不能掌握事物的本质属性，因而影响了数学概念的理解和掌握.因为只有概括了的概念才方便记忆，也有利于迁移，李秉德先生曾经强调在数学教学中与其说为教迁移而不如说为教概括.如果概括能力差，信息就很快被遗忘或储存很乱，这样就影响了概念的同化和顺应，因此，数学教师要注意不断提高学生的概括水平，比如可以实施启发式教学，在教学中创设问题的情境，并且精心设计数学概念的形成过程，让学生亲自体会由具体到抽象概括事物本质属性的过程.例如函数的定义，课本是比较局限的定义F(x)是函数，而F(F(x))就不明白了，逐渐地深入，这样有利于提高学生对数学抽象的概括能力，这样就有利于学生学习数学概念.

2毖生语言表达的能力

波利亚认为转化是最独特的一种智力活动.因此在数学概念的教学中必须重视确立和运用数学语言.教学实践表明，若一名学生能够把所学的数学概念的有关属性及它们之间的关系用自己的语言来表述，那么他就容易地把它们应用在新的情境，那样就能更好地学习数学概念.然而在实际的教学中，学生自我语言的形成被很多教师和学生都忽略了，他们往往认为数学概念追求的目标是形式化的语言，这样导致的结果是一方面学生学习的概念是通过不完善的自我语言来建构的，另一方面学生又要记老师教的形式化的语言，同时又隔离两者，片面理解了概念，这样就增加了解决问题的障碍与记忆的负担.著名科学家A.Einsetni曾指出一个人的智力及学习的方法很大程度上是取决于语言，这一精辟论述深刻地揭示了数学语言表达能力与概念学习的密切关系.因此，对概念的语言进行分解，能使学生掌握概念应用的操作程序，这样就能更深刻地理解和熟练地运用概念.

四、学生不好的学习方法和习惯

方法是成功的必要因素，科学的学习方法和良好的学习习惯可以在一定程度上弥补学生智力上的不足，而不少学生有不好的学习方法和习惯，少部分学生会去做笔记和整理错题，相当一部分学生的学习习惯不好，不会归纳总结方法，以及忽略不懂的概念.

1毖习方法

每名同学有不同的学习方法，学习方法不好的同学开始学习成绩差，若不及时总结经验，改变学习方法，成绩只会越来越差.当与别人的差距到一定程度时，就很难赶上去，这时就会对学习失去兴趣，造成恶性循环，慢慢就对自己完全失去了信心.所以学生会不会学，有没有好的学习方法，会直接影响到数学概念的学习.很多学生上课不认真做笔记，而人的记忆只能停留几天，这样就会导致遗忘，学了等于白学.还有的学生不重视订正错误，对做错的题也不善于从中分析原因，而一个人的大脑里错误的观念是非常顽固的，这样的后果是之前做错，以后还会做错.当然，还有其他的不好的学习方法，例如，盲目地解题，不注重理解知识、领会方法，只会死记硬背概念的定义、公式.我认为在数学的学习包括数学概念的学习中，准备笔记本和错题本是很重要的，因为笔记本可以防止学生的遗忘，并且让学生把握重点知识，错题本可以起到帮学生避免负迁移，订正头脑里的错误的观念的作用.因此，做笔记和订正错误是个很重要的学习方法.而学生的学习方法是需要靠教师和父母来指导的，但是主要是老师，所以老师要加强学法指导.让学生珍惜和重视自己的学习过程，多尝试和训练领悟到的学习方法，让它们内化成自己的能力，提高自己学会学习的本领.而概念方面的错误常常是学生数学成绩差的主要根源之一.因为概念是学习数学知识的奠基石，基础打好了才能越爬越高.概念的学习也需要方法，有好的学习方法就能不断地学习到新知识，逐步使自己有更加好的成绩.

2毖习习惯

我国著名教育家叶圣陶先生说过好的学习方法可以转化成好的学习习惯，所以我们要养成做笔记和改错题的好习惯.当然还有其他的很多的好的学习习惯，很多学生不善于总结知识，学习了很多知识，解完了很多题目，都不去总结、归类和推广，以后碰到类似的题目，还是不会做;还有的学生不重视学习，没有主动性和积极性，习惯放松，没有探索的精神.比如一些数学成绩差的同学，不能理解一些概念，与概念相关的题目也不会做，就自动放弃和忽略了，自己根本不愿意去花时间思考，也不去弄清楚搞明白.试想：若不经历一个思考的过程，不经过很多思维的碰撞与组合，怎么可能学好概念？很多学生在初中就养成了直接套用公式的学习模式，而进入高中就不同了，同样的问题，不同的思维角度，将直接影响解题的繁简程度.例如求二次函数的最值，看似它是一个纯代数的问题，但是用代数观点解非常麻烦，若对解析几何中的斜率和两点间的距离公式很熟悉就可以使问题变得非常简单.所以平时养成归类、总结和推广的好习惯，能轻松解题.另外，认真思考的学习习惯可以加深对概念的理解和记忆，从感性认识升华到理性认识，还可以防止死读书和读死书，在学习时都能批判地吸收以及激发灵感，解开困惑.而在实际的教学中，我们会注意到，很多同学急于求成和急功近利，学习概念时，没弄清概念的内涵和外延就被假象所蒙蔽，抽象、概括、判断和准确的逻辑推理未能采用多层次的分析，同时数学概念应用于问题解题后的整体思考、回顾和反思，包括都用到哪些概念、数学概念的应用是否正确、对问题的解决有什么独特之处、是否可找出另外的方案、能否推广和迁移等，都被忽视了，从而导致他们的兴趣和注意指向偏差，忽视了数学过程而偏重数学的结论，而且学生之间的交流就是比较分数，这样就很少有同学去深层次地讨论数学概念建构过程和对解题方法的影响.这样学生就不能完全理解概念，不能从本质上认识数学问题，正确的概念就没办法形成，深刻的结论也难以领会.

数学是玩概念的！数学思维的特点是用概念思维，是抽象思维；数学解题离不开概念，解题又有利于对数学概念的理解，相辅相成.让我们把数学概念的学习放在数学教学的首要位置.

【参考文献】

［1］章建跃.中学数学教学概论.北京：北京师范大学出版社，2006.

［2］张跃红.让数学概念从空乏走向生动［J］.中小学数学，2008（1）.

［3］陶维林.数学概念教学的实践与思考［J］.中小学数学，2011（3）.