《中学数学研究》数学问题360的简证

韦兴洲

【摘要】《中学数学研究》2011年第12期孙文彩老师给出了一个值得探究的问题，笔者通过构造函数提供了证明.

【关键词】等式;证明;函数

问题360对于给定的常数ρ∈R，ρ≠2，ρ≠0，等式sinρθ+cosρθ=222ρ0<θ<π2成立.求证:sinθcosθ=12.

证明记f(θ)=sinρθ+cosρθ0<θ<π2.

由fπ2-θ=f(θ)，得曲线y=f(θ)关于直线x=π4对称，故只需研究θ∈0，π4时的情形.

而f′(θ)=ρsinρ-1θcosθ-ρcosρ-1θsinθ

=ρsinθcosρ-1θ(tanρ-2θ-1).

（1）易得当ρ∈(-∞，0)时，f′(θ)<0θ∈0，π4，故y=f(θ)在0，π4上单调递减，从而f(θ)≥fπ4，即f(θ)≥222ρ0<θ<π2.

所以，当0<θ<π2时，f(θ)=222ρ荭=π4輘inθcosθ=12.

（2）同（1）可得，当ρ∈(0，2)时，f(θ)≤222ρ0<θ<π2（当且仅当θ=π4时等号成立），所以，当0<θ<π2时，f(θ)=222ρ荭=π4輘niθcosθ=12.

（3）同（1）可得，当ρ∈(2，+∞)时，f(θ)≥222ρ0<θ<π2（当且仅当θ=π4时等号成立），所以，当0<θ<π2时，f(θ)=222ρ荭=π4輘inθcosθ=12.

综合（1）（2）（3），原命题得证.

评注从图像上看，关于直线x=π4对称的曲线C：f(x)=sinρx+cosρx0