排列应用题常用解题思想及解题方法例析

杨锋峰

排列应用题是数学教学中的难点，本文就其解题思想及解题方法举例做些分析，以期能对数学学习者有所启示.

一、常用解题思想

1被归思想

解题意味着什么——就是把所要解决的问题转化为已经解决的问题.

例1同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺卡，求不同的分配方式.

分析我们建立数学模型转化为数学问题——用1，2，3，4这4个数字组成无重复数字的四位数，其中1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位数共有多少个？

2倍猿扑枷

挖掘题目中隐含的对称性，运用对称思维解题，能得到简捷的解法.

例2A，B，C，D，E五人并排站成一排，B必须在A的右边（A与B可以不相邻），有多少种不同的排法？

分析考虑对称性，B在A的右边与B在A的左边的机会均等，所以排列为A552=60(种).

3蹦娣此枷

对有些数学问题，如果从正面去探求常常一筹莫展，但是若改变一下思维的角度，从问题的反面进行逆向思考，常能找到解题的方法.

例3一个小组共有10名同学，其中4名女同学，6名男同学，要从小组内选出3名代表进行排列，要求至少有一名女同学，一共有多少种排法？

分析至少一名女同学包括三类.第一类：1名女生，2名男生；第二类：2名女生，1名男生；第三类：3名都是女生.

所以正面考虑的话，就是C14×C26×A33+C24×C16×A33+A34=600(种)排法.现在我们考虑反面：3名都是男生的排法有A36=120(种)，所以有A310-120=600(种).

二、几种方法

1碧卣鞣治龇

例4由1，2，3，4，5，6这6个数字可以组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？

分析一个数是6的倍数，与一个数是2的倍数且是3的倍数是等价的，而其中为3的倍数的数必须满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”，因此，满足题意要求的五位数应有以下几类可能：

第一类：1，2，4，5，6做数码，有72种；第二类：1，2，3，4，5做数码，有48种.

那么根据分类加法计数原理，符合题意的五位数就有72+48=120(种).

注所谓“特征分析法”，就是以事物的特征（本质属性）为突破口，寻找解题思路的方法，当问题比较复杂的时候，还要注意分类和分步.

2痹素、位置分析法

元素及其所占的位置，这是排列问题中的两个基本要素，以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”.

例53封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投递方法？

解法一元素分析法（以信为主）.

第一步：投第一封信，有4种.

第二步：投第二封信，有4种.

第三步：投第三封信，有4种.

所以共有64种.

解法二位置分析法（以信箱为主）.

第一类：四个信箱中某一个信箱有3封信的有4种.

第二类：四个信箱中某一个信箱有1封信，一个信箱有2封信，有C13×C22×A24=36(种).

第三类：四个信箱中某三个信箱各有1封信的收信方法有24种.

因此收信方法共有4+36+24=64(种).

注不少排列组合的问题中，某个元素或某个位置有特殊的作用，这个特殊元素或特殊位置是解题的关键，抓住关键进行展开，问题往往就会迎刃而解，如此例中的“数学课”或“体育课”便是特殊元素.

3倍分法

例6从0，1，2，3，4，5这6个数字中取出5个组成多少个无重复数字的五位数？

分析该题我们可以按照取出的5个数字来分为有0和无0两类.

“取与不取”“含与不含”“在与不在”等等，在解排列组合的应用题中，常可化难为易，将一个事件划分为几个互相对立的事件，这便是形式逻辑中的“二分法”.

三、几种技巧

1被格子，坐位置

这是排列组合问题中一个最基本、最重要的模型，大量的问题都可以用这个模型取套解.

例7从A，B，C，D，E五名同学中选三名，到甲、乙、丙三个位置中的一处，有多少种方法？

分析我们把甲、乙、丙看做三个位置，于是问题就转化为五名同学选三个位子坐下的问题.

2毕茸楹笈

有不少问题需要分为“先组合，再排列”两步完成，如例3第二类.

3毕群虾蠓帧—捆绑法

有一类问题要求某些元素必须排在一起，在解题时，我们可将这些元素先合一，即视为一个单元，与其他元素进行排列，然后再对一个这样的排列考虑单元内各元素的不同排列.

4毕扰藕蟛濉—插空法

某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法”.