三角形三边关系定理在初中数学中的应用

于开祥

【摘要】 笔者针对三角形三边关系定理在初中数学中的应用做一一的总结，希望能够给学习这个定理的人有一定的帮助.

【关键词】 三角形三边关系定理；数学

一、定理及其推论

定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：三角形任意两边之差小于第三边. 定理分析：无论是定理还是推论都有“任意”二字，所以定理和推论都包含三项内容，用ａ，ｂ，ｃ表示三角形的三边，则定理可以表示为：ａ ＋ ｂ ＞ ｃ，ａ ＋ ｃ ＞ ｂ，ｂ ＋ ｃ ＞ ａ；推论则表示为：ａ － ｂ ＜ ｃ，ｂ － ｃ ＜ ａ，ｃ － ａ ＜ ｂ．而我们在实际应用时往往不需要考虑那么多，只需将定理和推论简化为ａ － ｂ ＜ ｃ ＜ ａ ＋ ｂ（假设ａ ＞ ｂ），应用时只需抓住两条边来验证第三边即可. 具体的应用参考下面的例题.

二、定理的应用

1. 判断三条线段是否可以构成三角形

例１ 下列几组线段中，不能构成三角形的是 （ ）.

Ａ． ３，４，５ Ｂ． ２，４，６ Ｃ． ５，６，８ Ｄ． ７，１０，１５

解法分析 下面我们以Ａ选项为例来详细说明定理的使用，首先我们任意的取出两条线段，不妨我们取３和４．然后根据定理我们作出４ － ３ ＜ ｃ ＜ ３ ＋ ４，结果为１ ＜ ｃ ＜ ７，最后我们来验证第三条边是否在ｃ的范围内，如果在，则能构成三角形，如果不在，则不能构成三角形，此题显然１ ＜ ５ ＜ ７，因此可以构成三角形. 答案为Ｂ.

例２ 以４厘米、８厘米、１０厘米、１２厘米四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是 （ ）.

Ａ． １ Ｂ． ２Ｃ． ３ Ｄ． ４

解法分析 四根木条选３根有四种情况：４ 厘米，８厘米，１０ 厘米；４厘米，８厘米，１２厘米；４厘米，１０厘米，１２厘米；８厘米，１０厘米，１２厘米．由三角形三边关系定理知，以１２厘米、８厘米、４厘米不能构成三角形，其他3种情况均符合题意，因此能构成三个三角形，故选择Ｃ.

说明 实际上判断能否构成三角形的条件和根据已知两边判断第三边的取值范围是一样的，因此在这里就不一一叙述了.

2. 判断三点是否共线

三角形三边关系定理的主要内容是描述构成三角形的条件，那么如果不能构成三角形会是什么情形呢？其中就包括三点共线的情况，当ａ － ｂ ＜ ｃ ＜ ａ ＋ ｂ中等号成立时，恰好就是三点共线的情况，即当ａ － ｂ ＝ ｃ（假设ａ ＞ ｂ）或ｃ ＝ ａ ＋ ｂ时，ａ，ｂ，ｃ三条线段共线.

例３ 已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点，且ＡＢ ＝ ３，ＢＣ ＝ ４，ＡＣ ＝ ７． 判断这三点是否在一条直线上？

解法分析 根据题意，显然有３ ＋ ４ ＝ ７，所以这三点共线. 需要说明的是，ａ － ｂ ＝ ｃ和ｃ ＝ ａ ＋ ｂ本质上是一样的，因为３ ＋ ４ ＝ ７可以表示为３ ＝ ７ － ４ ．

3. 与三角形周长相关，尤其是等腰三角形的周长

例４ 等腰三角形ＡＢＣ两边的长分别是７和４，则三角形的周长为 （ ）.

Ａ． １8Ｂ． 1５ Ｃ． １１ Ｄ． １8或1５

解法分析 因为是等腰三角形，所以首先要判断７和４哪个是腰，哪个是底，因此要进行分类讨论. 把所有的可能都列举出来：７，７，４和７，４，４，然后根据三角形的三边关系定理来验证，结果两种情况都符合，故答案为Ｄ.

例５ 等腰三角形ＡＢＣ两边的长分别是一元二次方程ｘ２ － ６ｘ ＋ ８ ＝ ０的两根，则这个等腰三角形的周长是 （ ）.

Ａ． ８ Ｂ．１０Ｃ． ８或１０ Ｄ． ６

解法分析 解法同例题４，不同的是两种组合分别为４，４，２和４，２，２，符合条件的只有４，４，２，故答案为Ｂ. 需要说明的是，因为关于周长的问题不仅仅限于等腰三角形，但由于等腰三角形具有典型性，因此在这里举例说明.

4. 证明线段的不等关系

例６ 如图１，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上的任意一点，求证：ＡＢ ＋ ＢＣ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

证明 在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，∵ ＡＢ ＋ ＢＤ ＞ ＡＤ，ＡＣ ＋ ＣＤ ＞ ＡＤ，∴ ＡＢ ＋ ＢＣ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ．

变式 如图１，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上的中点，求证：ＡＢ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

证明 延长ＡＤ到Ｅ点，使得ＡＤ ＝ DＥ，连接ＢＥ和ＣＥ，如图２，因为ＡＤ和ＢＣ互相平分，所以四边形ＡＢEC是平行四边形，因此ＡＣ ＝ ＢＥ.

在△ＡＢＥ中，ＡＢ ＋ ＢＥ ＞ ＡＥ，

又∵ ＢＥ ＝ ＡＣ，ＡＥ ＝ ２ＡＤ，∴ ＡＢ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

５. 判断两个圆的位置关系（创新应用）

上述的几种情况是在初中数学中常见的三角形三边关系定理的应用. 我们都知道两圆的位置关系有６种，主要是根据两圆半径ｒ１，ｒ２和圆心距ｄ三者之间的关系来判断的. 如何把它们和三角形的三边关系联系起来呢？我是这样做的，如图３，以两圆相交为例. 当两圆相交时，这三条线段刚好构成一个三角，显然满足三角形三边关系定理，即ｒ２ － ｒ１ ＜ ｄ ＜ ｒ１ ＋ ｒ２（假设ｒ２ ＞ ｒ１），而当两圆相切时，恰好对应等号成立时，如图２所示. 为了使应用的更加方便，我们可以用数轴来表示两圆的位置关系，如图４.

在判断两圆的位置关系时，只需抓住数轴上的两点即可，然后看圆心距在数轴上的位置就可以一目了然地判断出两圆的位置关系，具体的使用参照下面例题.

例7 已知两圆的半径分别为３和４，圆心距取下列何值时两圆相交？（ ）

Ａ. 6Ｂ. 7Ｃ. 8Ｄ. 9

解析 套用三角形三边关系定理，有４ － ３ ＜ ｄ ＜ ４ ＋ ３，可知圆心距在１～７之间的时候为相交，所以答案为A.